뜬금없이 회전체 질문이요..

이게 말로표현하기 어렵네... 머릿속으로 돌려서 회전체 만든다음에 회전체를 여러방향에서 살펴보세요.

오른쪽거 회전체: 왼쪽과 같은 그림이 돌아가는 거 vs 밑면의 반지름 1인 원이 돌아가는 거 두개만 생각해도 a값에 따라서 차이가 날겁니다. a가 1이상이면 차이가 안나려나... 또 왼쪽 그림이 타원이 아니고 포물선모양이라면 차이가 좀 더 많이 생길겁니다.

두 도형이 같은지, 다른지, 다르면 어떻게 다른지를 살펴보려면 겹쳐지는 부분을 살펴봐야해요.
왼쪽도형을 x축으로 한바퀴 삥돌리면서
오른쪽도형과 겹쳐지는 부분을 파악해보세요.

햇갈리시면 x축방향에서 원점을 보는 방향으로도 봐보시구요

특별한 말은 없는데 아마 포물선이겠죠?

먼저 좌측 그림에서 x=c라는 직선으로 자르면 y좌표는 a(1-c^2 )입니다. 이게 x축까지의 거리.

이제 우측 그림에서 z=c라는 평면으로 자른 단면을 생각해보세요. 단면은 0<=y<=a(1-c^2 -x^2), z=c 를 만족하겠지요. (x는 -루트(1-c^2 ) <= x <= 루트(1-c^2 ) 에서 변화.)

가장 바깥쪽 점을 표현하면, (x, a(1-c^2 -x^2 ) , c)가 될텐데, 이 점에서 z축까지의 거리는 루트 ( x^2 + a^2 (1-c^2 -x^2 )^2 )입니다. 위의 범위에서 x가 변화할 때 이 거리의 최댓값이 실제 회전체의 z=c 단면에서의 반지름이 되겠지요. 계산해보면,
(2a^2 (1-c^2 ) -1)/ 2a^2 <= (1-c^2 )/2 일 때는 (즉, a^2 (1-c^2 )<=1일 때) x= +-루트(1-c^2 )일 때 최대(x절편 비슷한 점일 때. 단면 z=c내에서)
(2a^2 (1-c^2 ) -1)/ 2a^2 >= (1-c^2 )/2 일 때는 (즉, a^2 (1-c^2 )>=1일 때) x=0일 때 최대(포물선의 꼭짓점일 때)

이게 좌측 그림에서 구한 거리인 a(1-c^2 )이 될까요?

a<=1이면, 어떤 c에 대해서도 좌측 그림에서는 a(1-c^2 ), 우측 그림에서는 루트(1-c^2)이 나오므로 항상 다릅니다. a=1, c=0이거나 c=1인 경우 빼고.. (직관적으로도 a가 작으면 포물선이 납작해서, z축에서 가장 먼점이 포물선의 꼭짓점 부분이 아니라 x절편 비슷한 점일 때임을 알 수 있지요.)
a>1이면, 1- 1/a^2 >=c^2 인 c에 대해서는, 포물선의 꼭짓점 부분이 가장 z축에서 멀고, 1- 1/a^2 <=c^2 인 c에 대해서는, 포물선의 양끝점 부분(x절편 비슷한 부분)이 가장 z축에서 먼 것을 알 수 있습니다. 즉, 중앙 부분에서는 좌측그림의 회전체와 같지만, 양끝으로 갈수록 좌측그림의 회전체보다 좀더 튀어나오는 형태의 입체가 될것입니다.