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연세대학교 의예과 [848771] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2020-08-26 00:46:10
조회수 2,394

# 돌대가리도 암산하는 가형 30번

게시글 주소: https://orbi.kr/00031791417

 제목에서 언급한 돌대가리는 저를 얘기한거고

이 돌대가리는 합성함수가 뭔지는 알고 있습니다.

학생분들은 어떤지 확인해봐주새요 ^^ㅎㅎ


큰 틀에서 얘기드리는 바는 전글과 다를 바 없다는 점과

전 글과 마찬가지로 말투는 조금 싸가지 없을 수 있는점 양해 부탁드려요 ㅎㅎ



#20190930가형

암산과정 간단하게 알려주고 아래에 사고 흐름 따라서 해설 적어둘 테니까 참고해라


"암산이라며.. 사고의 흐름이 왜 이렇게 길어..?" 라고 할 수도 있는데

말로해서 긴거지 필요한 개념은 몇 안 되는 쉬운 문제야.


(개념→반응)구조로 3줄요약하자면


1. 합성함수 → 정의역함수와 치역함수를 명확히 구분한다.

2. 합성함수와 방정식 → 실근과 정의역함수의 함숫값을 헷갈리지 않는다.

3. 극값 → 극값은 도함수의 부호변화 지점에서 발생한다.


끝

__________________________________________________


풀어주기 전에 한마디만 할게

합성함수가 뭔지는 아냐?


근데 뭔지 알면 글 읽을 필요 없이 암산이 될거다.


안 되면 제발 좀 아래에

'합성함수 개념-그에대한 적절한 반응'

정리해둔 거 참고해라

__________________________________________________


#'합성함수 개념-그에대한 적절한 반응'


1. 합성함수의 치역은 f(x) 담당이고

따라서 (가)랑 (나)조건의 y=0, y=8은 치역함수 y=f(x)랑 비교해야해


2. 그럼 그 교점(a, b, ...)들은?

정의역 함수인 y=g(x)랑 비교해야겠고


3. 이때 (y=a, b, ...)값들과 g(x)의 함숫값과의 교점은

실근(x)와 비교해야지


이렇게 합성함수를

1. 치역함수와 2.정의역함수

3. 정의역함수와 x(실근)로

절차를 나누어서 해석할 수 있다면 위 문제는 어렵지 않게 풀어낼 수 있고


위 과정이 익숙하다면 심지어 암산까지 할 수 있지



__________________________________________________





#(가) 조건 (합성함수와 그에대한 적절한 반응)

 치역함수(f(x))의 최솟값이 0이잖아

근데 정의역 함수(g(x))는 g(x)≥0의 범위를 갖고 아래 그림에서 볼 수 있듯이

하나의 정의역 함수에 대응되는 하나의 값(g(x)=a)에서 발생할 수 있는

최대 실근(x)의 개수는 총 3개야


 

따라서 f(x)의 최솟값은 0이므로 모든 f(x)=0의 실근은 모두 중근이고

f(x)가 x≥0에서 서로다른 두 실근이 존재한다는 걸 알 수 있어.


이때 g(x)=0, g(x)=a에서 각각 1개, 3개의 실근(x)값이 나오겠지


#(나) 조건 (극솟값을 갖는다 → 해당지점에서 도함수 부호 음에서 양으로 변화)

g(x)는 x=0-, x=0+ 모두에서 g(x)→0+로 f'(0+)는 '부호변화'에 영향을 주지 못해


g'(x)는 x=0 근처에서 부호가 (음수→양수)로 변하기 때문에

 ⓐ f'(0+)의 부호가 음수라면 h(x)는 x=0에서 극대 

 ⓑ f'(0+)의 부호가 양수라면 h(x)는 x=0에서 극소이기 때문에

(나)조건이 성립하기 위해선

 ⓑ, f'(0+)>0 이어야 함을 알 수 있어


 이때 만약 f(x)가 x>0에서 서로다른 두 실근을 갖는다면?

(성립X)
위 그림에서 알 수 있듯이 f'(0+)의 부호는 반드시 0보다 작을 거야

따라서 f(x)=1/2*x^2*(x-a)^2라는 것을 알 수 있지

(성립O)


#(다) 조건 (합성함수와 방정식→치역함수와 정의역함수의 구분, 절차대로 풀이)

h(x)=8의 서로 다른 실근의 개수가 6개라는데?

그렇다면


1. 치역함수f(x)=8의 교점

2. 그 교점을 함숫값으로 하는 정의역의 x좌표(실근)의 개수

가 총 6개라는 거잖아


그럼 이때

당연히 f(x)의 극댓값이랑 8 중에 누가 더 큰지 고민하는게 정상 아니야?


1. 만약 y=8이 극댓값보다 크다면

y=f(x)와 y=8의 교점은

(정의역함수g(x)≥0) 구간에서 단 1개 나올테고

이때 실근(x)값은 g(x)의 개형에서 파악 할 수 있듯이 최대 3개밖에 나올 수 없다


따라서 (성립X)


2. 극댓값이 y=8보다 큰 경우엔?

y=f(x)와 y=8의 교점은

(정의역함수g(x)≥0)인 구간에서 교점이 총 3개 나올테지만

(가)조건 해석의 결과로 알 수 있었듯이

g(x)=a에서 이미 실근(x)의 개수가 3개가 도출 된다.

g(x) 개형에서 알 수 있듯이 g(x)=b (0<b<a) 역시 실근은 3개가 도출될테고

그렇다면 f(x)=8의 세 교점 중 x=a보다 작은 두개의 교점(b)에서는

g(x)=b의 실근이 각각 3개씩 총 6개가 나올 것이다.


따라서 (성립X)


3. 따라서 y=8과 y=f(x)의 극댓값은 같을 수밖에 없다.


f(a/2)=8=1/2*(a/2)^2*(a/2-a)^2=a^4/32

a^4=2^8, a=4


f(x)=1/2*x^2(x-4)^2

f'(x)=1/2{2x*(x-4)^2+x^2*2(x-4)} 

f'(5)=1/2(10+25*2)=30


답은 30이 된다.


________________________________________________

이 문제를 못 풀었다는 건 그냥

합성함수가 뭔지에 대해 몰랐기 때문이겠지


모든 합성함수는 치역함수와 정의역함수의 구분,

당연히 밟아야 하는 절차를 밟아주면 풀리는데 말이야


질문은 댓글으로 해주시고

다른 문제 해설 필요하시면 댓글로 남겨주세용

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