f''(x)=0 과 변곡점에 관한 질문

Question

사차함수에서 y=x^4 꼴의 경우 f''(x) 는 0 이지만 변곡점이 아니잖아요?

f''(x)=0 의 의미를 구체적으로 알고 싶습니다.

약간의 삼차함수와 사차함수 예를 들어주이면 고맙겠음.

UtopiaN · Accepted Answer

함수 f(x)에서 f''(a)=0이라고 해서 x=a에서 변곡점이 아니고

f'(b)=0이라고 해서 x=b에서 극값이 아닙니다.


변곡점이 아닌 예는 대표적으로 y=x^4이고 극값이 아닌 예는 y=x^3가 있지요.
(그래프 직접 그려보면서 확인하세요)

변곡점에 대해 얘기 해보면 어떤 함수 f(x)가 x=a에서 변곡점이 되기 위한 필요충분 조건은
(우선 f(x)의 이계도함수가 존재한다고 합시다.)

아주 작은 양수 h에 대해 f''(a)=0 & f''(a-h)f''(a+h)<0을 만족해야 합니다.

즉, a에서 0이고 좌우에서 부호가 바뀌어야 하는 것이죠.


단순히 f''(a)=0만 만족했다고 x=a에서 변곡점이라고 단정지으면 안됩니다.

그리고 또 f''(x)는 f'(x)의 도함수이므로 x=a에서 변곡점을 가진다면 f'(x)는 x=a에서 극값을 가지게 됩니다.


좀 횡설수설이네요. 변곡점에 대한 이야기가 교과서에도 나와있을테니 한번 찾아 읽어보세요.

syzy · Answer

이미 위엣분이 예를 잘 들어주셨네요. 

한 마디로 변곡점은, '곡(볼록성)'이 변하는 점입니다. 위로 볼록, 아래로 볼록 등의 볼록성이 변하는 점이지요. 따라서 f '' (x) =0 이 성립해야할 뿐 아니라, 그 좌측에서 위로 볼록이고(f '' (x) < 0), 우측에서 아래로 볼록(f '' (x) > 0)이거나, 혹은 반대로 좌측에서 아래로 볼록, 우측에서 위로 볼록이어야 겠지요.

삼차함수에서는 f '' (x) = 0 인 점 x는 무조건 변곡점(두 번 미분한 함수가 일차함수가 되고, 근을 가지는 점 근처에서 부호가 바뀔 수 밖에 없지요) 이지만, 4차 이상의 다항함수에서는 반드시 그렇지는 않습니다.

f''(x)=0 과 변곡점에 관한 질문

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