재밌는 문제군요. 답은 p=-2, q=-1 이니까, 17. 함수 그려놓고 t점 이동시켜보면서 생각하면 되는데 경우가 몇 가지 나오네요. 적절히 평팽이동해서 변곡점이 원점이라고 가정해도 상관없으니(나중에 다시 옮기면 되니까요) f(x)=x^3 -ax라고 둘게요. f '= 3x^2 -a. 이 문제는 한 마디로 접선에 대해 대칭이동한 곡선의 순간기울기가 무한대가 되는 경우가 발생하지 않을 조건을 찾는 문제군요. x=t점에서 기울기 m=3t^2 -a. 이 접선이 y=f(x)와 만나는 다른 점 하나는 x좌표가 x=-2t (근과 계수와의 관계) y축의 음의 방향으로부터 시계방향으로 접선이 이루는 각을 세타 라 할게요. 그러면 m= cot theta 이 접선에 대해 y축을 대칭이동하면 기울기 cot 2theta인 직선이 나옴. cot 2theta 라는 기울기가 {3x^2 -a | x 0이라면 cot 2theta < 12t^2 -a 이어야 함. (2) 0=root(7/9) 인 경우. 시간이 없어서 나중에 다시 글 달게요.ㅕ

아..ㅎㅎ 접선에 대해 대칭이동 하는 문제는 있었어도, 이렇게 대칭이동한 곡선이 여전히 함수가 될 것을 요구하는 문제는 못 봤던 것 같은데, 직접 내신 거라면 참 창의적이시라고 생각합니다. 이 정도면 서울대 13학번 충분히 되실 듯..ㅎㅎ 답 쓰다가 나갔는데, 지금은 글 수정이 안 되는군요ㅋㅋ 좌우지간, 이 문제 답만 맞추려면 더 간단한 풀이가 가능하겠지만, 모든 경우를 포괄하는 (위에서 a값에 상관없이) 결론을 도출하기 위해, 좀 계산을 해볼게요. y축의 기울기가 무한대이고, y축을 접선에 대해 대칭이동한 직선과 동일한 기울기(cot 2theta)를, 접선 아래쪽 영역의 곡선 중 어느 지점에선가 기울기로 가져버리면, 대칭 이동한 곡선의 기울기가 무한대가 되는 점을 갖게 될테니 대칭 후 곡선이 함수가 안 되겠지요. (y=x^(1/3)처럼 운 좋으면 함수가 되는 경우가 있으나 이 문제에서는 조금 생각해보면 그런 경우는 없지요.) 그리고 아래 풀이에서 m=0인 경우는 따로 처리해야 하는데 (분모가 0이 되는 경우가 있어서) 쉬우니까 그냥 생략하겠습니다. (1) a (m+a)^2 9t^4 -((a^2 +1)/9 )^(1/4) 0이라면 cot 2theta -1 =0일 때 a =루트(a/3) m>=0일 때 a>루트(7/9)이면 t^2 >(12a+루트(81a^2 -63)) / 63. 그런데 t>=루트(a/3)와 교집합 구하면, 그냥 t>=루트(a/3) 으로 동일. m 루트(7/9)이면 (12a-루트(81a^2 -63)) / 63 < t^2 <(12a+루트(81a^2 -63)) / 63 종합하면, (2) 0root(7/9) 인 경우: -((a^2 +1)/9 )^(1/4) =루트(a/3) 여기서 루트(a/3) 들어가는 부등호들은 계산 안 해도 직관적으로 자명한 것들임. 직관적으로 보면 별 이야기 아닌데 (물론 계산하지 않으면 정확한 값은 알기 힘드나..) 풀이를 엄밀하게 쓰려니 길어졌군요.. (1),(3) 경우는 답으로 나온 t의 구간 형태 자체가 문제에 주어진 것과 다르므로, (2)경우여야 함. -((a^2 +1)/9 )^(1/4) a= 3/4이고, 원함수는 f(x)= x^3 - (3/4)x 를 x축 방향으로 -2만큼 평행이동한 것(y축 방향으로는 아무렇게나 이동해도 무방) -((a^2 +1)/9 )^(1/4) - 2 = -2 - 루트(15)/6. 따라서 p=-2, q=-1. 4p^2 +q^2 = 17. 문제에서 a라는 상수 사용했는데 문제 풀이에서 혼동되게 중복사용해서 죄송합니다^^ (3)번 경우를 문제로 내면 상당히 복잡해지겠군요.

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13서울대수학교육 [402204] · MS 2017 · 쪽지

2012-10-31 20:17:21
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자작 문제 투척

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syzy · 418714 · 12/11/01 16:24 · MS 2012

재밌는 문제군요. 답은 p=-2, q=-1 이니까, 17. 함수 그려놓고 t점 이동시켜보면서 생각하면 되는데 경우가 몇 가지 나오네요.

적절히 평팽이동해서 변곡점이 원점이라고 가정해도 상관없으니(나중에 다시 옮기면 되니까요) f(x)=x^3 -ax라고 둘게요. f '= 3x^2 -a.
이 문제는 한 마디로 접선에 대해 대칭이동한 곡선의 순간기울기가 무한대가 되는 경우가 발생하지 않을 조건을 찾는 문제군요.

x=t점에서 기울기 m=3t^2 -a. 이 접선이 y=f(x)와 만나는 다른 점 하나는 x좌표가 x=-2t (근과 계수와의 관계) y축의 음의 방향으로부터 시계방향으로 접선이 이루는 각을 세타 라 할게요. 그러면 m= cot theta
이 접선에 대해 y축을 대칭이동하면 기울기 cot 2theta인 직선이 나옴.

cot 2theta 라는 기울기가 {3x^2 -a | x<=-2t} 에 속하면, 대칭 가능이 아님.

cot 2theta = 1-tan^2 theta / 2tan theta = (m^2 -1) /2m

(1) a<=0 인 경우: 함수는 단조증가.
t<=0이라면 cot 2theta < -a 이어야 하고,
t>0이라면 cot 2theta < 12t^2 -a 이어야 함.

(2) 0=root(7/9) 인 경우.

시간이 없어서 나중에 다시 글 달게요.ㅕ

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13서울대수학교육 · 402204 · 12/11/01 19:27 · MS 2017

문제 칭찬해 주셔서 감사합니다ㅎㅎㅎ
누군가 빨리 풀어서 답글을 달아주기를 바라고 있었어요ㅎㅎㅎ 답은 맞고요ㅎㅎ

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syzy · 418714 · 12/11/02 01:44 · MS 2012

아..ㅎㅎ 접선에 대해 대칭이동 하는 문제는 있었어도, 이렇게 대칭이동한 곡선이 여전히 함수가 될 것을 요구하는 문제는 못 봤던 것 같은데, 직접 내신 거라면 참 창의적이시라고 생각합니다. 이 정도면 서울대 13학번 충분히 되실 듯..ㅎㅎ 답 쓰다가 나갔는데, 지금은 글 수정이 안 되는군요ㅋㅋ

좌우지간, 이 문제 답만 맞추려면 더 간단한 풀이가 가능하겠지만, 모든 경우를 포괄하는 (위에서 a값에 상관없이) 결론을 도출하기 위해, 좀 계산을 해볼게요.

y축의 기울기가 무한대이고, y축을 접선에 대해 대칭이동한 직선과 동일한 기울기(cot 2theta)를, 접선 아래쪽 영역의 곡선 중 어느 지점에선가 기울기로 가져버리면, 대칭 이동한 곡선의 기울기가 무한대가 되는 점을 갖게 될테니 대칭 후 곡선이 함수가 안 되겠지요. (y=x^(1/3)처럼 운 좋으면 함수가 되는 경우가 있으나 이 문제에서는 조금 생각해보면 그런 경우는 없지요.)

그리고 아래 풀이에서 m=0인 경우는 따로 처리해야 하는데 (분모가 0이 되는 경우가 있어서) 쉬우니까 그냥 생략하겠습니다.

(1) a<=0 인 경우: 함수는 단조증가. (기울기m 항상 0이상)
t<=0이라면 cot 2theta < -a 이어야 함. (m^2 -1)/2m <-a --> (m+a)^2 < a^2 +1 --> 9t^4 < a^2 +1 --> -((a^2 +1)/9 )^(1/4) 0이라면 cot 2theta < 12t^2 -a 이어야 함. (m^2 -1)/2m <12t^2 -a --> -1 < (3t^2 -a)(21t^2 -a) 우변 양수이므로 자명.

종합하면, -((a^2 +1)/9 )^(1/4) root(7/9) 인 경우.

(2),(3) 모두 0 -((a^2 +1)/9 )^(1/4) 0이라면 cot 2theta < 12t^2 -a 이어야 함. (m^2 -1)/2m <12t^2 -a
다시 m=3t^2 -a 의 부호에 따라 경우를 나눠서 풀어보다보면
m>=0일 때 a<=루트(7/9)이면 항상 만족. 즉, t>=루트(a/3)
m>=0일 때 a>루트(7/9)이면 t^2 >(12a+루트(81a^2 -63)) / 63. 그런데 t>=루트(a/3)와 교집합 구하면, 그냥 t>=루트(a/3) 으로 동일.
m<0일 때 a<=루트(7/9)이면 항상 만족 못 함.
m<0일 때 a>루트(7/9)이면 (12a-루트(81a^2 -63)) / 63 < t^2 <(12a+루트(81a^2 -63)) / 63

종합하면,
(2) 0 root(7/9) 인 경우: -((a^2 +1)/9 )^(1/4) =루트(a/3)
여기서 루트(a/3) 들어가는 부등호들은 계산 안 해도 직관적으로 자명한 것들임.

직관적으로 보면 별 이야기 아닌데 (물론 계산하지 않으면 정확한 값은 알기 힘드나..) 풀이를 엄밀하게 쓰려니 길어졌군요..
(1),(3) 경우는 답으로 나온 t의 구간 형태 자체가 문제에 주어진 것과 다르므로, (2)경우여야 함.

-((a^2 +1)/9 )^(1/4) a= 3/4이고, 원함수는 f(x)= x^3 - (3/4)x 를 x축 방향으로 -2만큼 평행이동한 것(y축 방향으로는 아무렇게나 이동해도 무방)

-((a^2 +1)/9 )^(1/4) - 2 = -2 - 루트(15)/6. 따라서 p=-2, q=-1. 4p^2 +q^2 = 17. 문제에서 a라는 상수 사용했는데 문제 풀이에서 혼동되게 중복사용해서 죄송합니다^^ (3)번 경우를 문제로 내면 상당히 복잡해지겠군요.

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13서울대수학교육 · 402204 · 12/11/02 06:20 · MS 2017

제가 직접낸 문제 맞고요 저는 서울대 수교과가 목표입니다
2002년도인가 그때 평가원 모의 아니면 수능에서 45도 회전시켰을 때
함수가 가능한지 물어서 그 문제에서 아이디어를 조금 따왔어요

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