평균값의 정리의 역이 성립하지 않음을 보자.(3차)
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f(x)가 삼차함수이므로, 미분가능한 다항함수 f(x)에 대해, 임의의 c가 a<c<b에서 f'(c)={f(b)-f(a)}/(b-a)이 성립한다 하자. h(x)=f'(c)(x-a)+f(a)이라 하면, f(x)-h(x)=0인 실근 x 중에 x=b가 존재한다. x=c에서 f(x)가 변곡점을 갖는 상황을 생각해보자. f(x)-h(x)=g(x)라 하면, g'(x)=f'(x)-f'(c)이고, 변곡점의 정의에 의해 g'(x)>=0, g'(x)<=0 중 하나임을 알 수 있다. 계산의 편의를 위해 f(x)의 최고차항 계수를 양수라 하면, f(x)-h(x)는 증가함수이고, x=b에서 0이 되는 함수이므로 x=b 외에서 근을 가질 수 없다. 근데, x=a에서도 근을 가져야 하므로 이는 가정에 대한 모순이다. 따라서 평균값의 정리의 역은 삼차에서 성립하지 않는다.
이를 다항함수에 대해 일반화할 수 있을까요? 방금 의식의 흐름대로 타이핑하면서 라이브로 생각중인데 뭔가 될 거 같긴 하고....
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다항 일반화면 2차 포함이라 안 돼요
2차는 역이 성립하는 특수한 존재
n>=3
!!!
변곡점이 존재하는 모든 도함수가 연속인 함수에 대해 가능하지 않을까요
f(a)=f(c)이면 g(c)가 왜 0이 되어야하나요??
g(a)=0으로 수정해야겠군요 ㅋㅋㅋ
아하! 그럼 f(a)=f(c)조건은 필요없어지네요
일반적인 함수에선 성립하지 않지만 일차, 이차, 사차 등 성립하는 경우도 있긴 하군요어떤 함수 f(x)가 평균값정리의 역이 성립하기 위한 조건은 뭔가요?
Only 변곡점?
위에도 얘기 나왔자만 미분한 함수의 극값이 최대 최소의 존재 유무 같네요.
결국 그게 변곡점일테니 전제에 《변곡점을 제외한》 붙이면 역도 이 조건에서 성립하겠네요?그럴 듯하겠네요. 다만 이과 수학에서 다루는 함수의 대부분은 변곡점이 있어서 사실상 성립하지 않겠지만요
예를들어 f'(x)= (기울기) 를 만족하는 (a,b)는 x가 뭐뭐일 때만 존재하지 않는다 이런식으로 조건 쓸 수 있으려나요?곁눈질로 보다가
'평균값의 정리 역시 성립하지 않음을 보자.'
라고 읽어서 깜짝 놀랐네
생각해보면 되게 도움이 되는 부분
현역들은 간과하기도 쉬운 부분이고