수리...질문ㅠ

Question

x에 대한 방정식 x^2lnx=mx+a 의 실근이 모든 실수 m에 대하여 항상 1개만 존재하도록 하는 a의 최솟값은?

좀 풀어주세요ㅠ

syzy · Accepted Answer

f(x) = x^2 ln x  
g(x) = mx+a ( (0,a)를 지나고 기울기 m인 직선)
가 모든 기울기m에 대해 항상 한 점에서만 만나도록 해야겠네요. ( x > 0인 범위에서 )

f ' , f '' 계산해서 f 의 개형 그려보세요. 직접 해보시면, f ' = 2x ln x + x , f '' = 2 ln x + 3

x= 1/루트e 보다 작은 곳에서는 감소, 큰 곳에서는 증가,
x = 1/루트(e^3) 에서 변곡점.

(0,a)를 지나는 직선을 기울기m을 연속적으로 변화시키면서 쭉 긋다보면 위 함수랑 두 점에서 만날 수도 있게 될텐데, 그런 일이 안 벌어지려면, 변곡점에서의 접선의 y절편보다 a가 크거나 같으면 된다는 것을 알 수 있을 거에요.

변곡점에서의 접선은 y = -2/루트(e^3)(x-1/루트(e^3))-3/(2e^3 )  의 상수항은, 1/(2e^3) 이므로 이 값이 a의 최솟값.

syzy · Answer

혹은 ( x^2 ln x - a ) / x= m 니까 (x>0이니까 x로 양변 나눠도 무방)

이 식이 모든 m에 대해서 한 개의 실근(x>0)을 가지려면, 좌변의 함수가 단조증가 혹은 단조감소만 해야한다고 해서 풀어도 똑같은 결과를 얻어요. (단조감소는 불가능하므로 결국 단조증가를 해야할거에요)

수리...질문ㅠ

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