Sn-an 칼럼

Question

너무 당연한 내용이라 거의다 아실거라 칼럼이라 하기도 뭐하지만

헷갈리시는 분들이 가끔 계셔서 적어봅니다 그리고 오개념도,,

결론부터 말하면 Sn이 먼저 주어지고 an합 Sn일때, Sn-Sn-1이 모든 자연수 n에 대하여 an이 되도록 하는 필요충분조건은 "S(0)=0"입니다.

그러니까 Sn이 주어질때, S(0)=0이면 무조건 Sn-Sn-1식을 an이라 하고 가면 됩니다.

Sn-Sn-1=bn이라 합시다. 첫째항이 항상 같지 않은 이유는 n=1일때 S1-S0=b1이므로 S0이 0이 아니면 당연히 b1이 S1보다 S0만큼 차이나겠죠. (Sn을 자연수에 대해 정의했는데 S0을 말할수가 있냐 하시겠지만 어쨌든 저 정의된 함수식에 우리가 0을 넣어서 그 값때문에 차이가 생기는것이니까 이 S0의 값은 그냥 대입하는겁니다)

그리고 이런 개념을 잘 숙지하고 있어도 저희가 보는 수열은 거의 다항식이기때문에 보통 이런 오개념도 있을 수 있습니다.

"상수항이 0이면 무조건 S1=b1이다."

이건 많은 경우에(특히 다항식)는 성립하지만 참인 명제는 아닙니다.

많이 알고 계시는게 상수항 때문에 보통 둘째항부터 등차수열(둘째항부터 등차수열이라는 말 자체가 모순된 말이지만)이다 라고 문제를 풀지만 이건 다항식일때 S0=상수항이라서 가능한거고

Sn=2^n - 1 이런 경우에 -1 때문에 a1=S1을 이용해 첫째항을 따로 구해야한다 생각할 수 있지만 여기서는 S0=0이므로 Sn-Sn-1이 모든 자연수 n에서 an입니다.

그러니까 결론은 그냥 기계적으로 Sn에 0만 집어넣어서 0인지만 판단하고 쓰면 Sn-Sn-1은 아무 문제가 안된다는 겁니다 (식모양으로 판단 ㄴㄴ)

근데 안 헷갈리려면 그냥 무조건 S1=a1 하시고 가면 안틀리고 이게 제일 안전한 방법같지만 가끔 헷갈리시는 분들이 계시고 좀더 자세히 알고싶으신 분들을 위해 써봤네요

이런글을 처음 써보는데 도움이 되신 분이 계시면 좋겠네요 감사합니다

쓰레기같은 말만 함 · Accepted Answer

한창 페미 떡밥 on이라 시기가 안좋습니다 행님..

서ㄹㅣ · Answer

잘 읽었습니다!

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