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스- [868667] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2020-06-14 00:40:05
조회수 37,454

[가형] 삼각함수의 극한과 근사

게시글 주소: https://orbi.kr/00030629079

안녕, 오르비 친구들. 새 칼럼으로 돌아온 스-다.


요즘 떡밥 터지는 걸로 사람 웃길 궁리만 하다가 현타맞고 날 팔로우해주시는 분들을 위해 힘내어 다시 글을 써본다.


다음주부터 시험이 많긴 한데, 사실 사람의 생산성은 시험 직전에 시험과 관련 없는 것을 할 때 제일 높다는 NASA 연구 결과가 있다.


각설. 오늘의 주제는 ‘삼각함수의 극한’ 이다.


삼각함수의 극한을 위해 우리가 아는 식은 크게 세가지이다. 이는 교과서에서 가르치는 공식들이다.

수능 수준의 삼각함수의 극한과 관련된 모든 문제는 이 세 식과 어느 정도의 센스로 해결할 수 있다.


한편, 이러한 식들을 쓰기 귀찮아 더 빠른 방법으로 문제를 풀 수 있는 ‘근사’를 활용하는 사람들이 많을 것이다. 가령, 

이런 식으로 말이다. 이는 대학가면 배운다는 테일러 급수의 단순한, 즉 생략된 게 많은 꼴이다.

(출처: 위키피디아)

이와 같은 근사의 방식은 역대 삼각함수의 극한 기출문제 중 반 이상에 효과적으로 먹힌다. 최근기출로 예를 들어보자.

2020 수능 수학 가형 22번, 23번, 24번, 25번

니까 답은 1+루트2, a+b=2.

실제로 복잡해 보이는 계산을 머릿속으로 풀 수 있는 엄청난 풀이처럼 보인다. 하지만, 나는 이와같은 풀이를 지양하라고 하고 싶다. 최소한 ‘공부’를 하고 있을 때는 말이다.


실전연습을 하는 모의고사를 풀 때는 답을 빠르게 찾는 것이 중요하므로 근사던 로피탈이던 아무거나 써서 정답을 구하면 장땡이다.


하지만, 실제로 기출문제 중에 이 방식으로 안 풀리는 문제도 있으며, 근사를 잘 쓰기 위해서는 정석으로, 즉 앞에 적어둔 세가지 교과서 공식만을 활용하는 것으로 문제를 풀 수 있어야 한다. 논술고사를 보러 가서 풀이를 적는다고 생각하고 문제를 풀면 마인드컨트롤이 될 것이다.


그럼 실제로 문제를 맞이했을 때, 우리가 근사를 써도 되는 상황과 안되는 상황을 구별해보자.

-근사를 써도 되는 상황: 대충 근사를 때렸을 때 위아래 차수에 이상이 없는 경우, 특히 분모가 세타의 1제곱일 때

Ex) 201124, 200920 등

2020학년도 9월 모의평가 수학가형 11~20번 문제 풀이 영상

눈풀로 씹어먹을 수 있을 거 같으면 그대로 펜을 대고 확인만 해주면 된다. 완전 확신이 들 때에.


-근사를 쓰면 안되는 상황: 분자에 뺄셈이 있을 때, 대충 근사 때려봤을 때 정확한 값을 모르겠을 때, 근사로 한 번 해봐서 안됐을 때, 특히 분모의 차수가 2 이상일 때, 21번이나 29번에 배치됐을 때

(수정: 분자의 뺄셈을 근사로 풀었을 때 항이 0으로 소거되는 경우)

Ex) 160629, 17사관29번, 130920 등

실제로 저런 얕은 수를 써서 안 풀리는 문제들이 존재한다. 생각하는 방식에 따라 근사로 풀리는 문제도 있고, 안 풀리는 문제도 있다. 극한을 단순하게 생각하는 것은 문제해결에 도움이 되지만, 그것도 어느 정도라는 것이다.


문제를 풀다 막혔을 때는 바로 교과서 풀이로 돌아가야 한다. 준킬러 4점에 20분을 뺏기고 싶지 않다면.


그렇다고 근사가 아주 완전 나쁜 건 아니다. 실제로 7할 이상의 문제들에 잘 적용되기 때문이다. 관련하여 요즘 핫한 근사도형의 테마를 소개하겠다.


그건 바로 ‘일정 비율을 가지고 0으로 수렴하는 두 각‘ 이다. 사인정리 때문에 이전 교육과정에서 맘대로 내기엔 불편했던 소재이기도 하고, 이번부터 내기에 적절한 소재이기도 하다.


Ex) 22 예비시행 미적 28번, 180420

6월 모의평가 출제 예상 주제 - 오르비

18년 4월 학평 20번을 예로 들어 상황을 설명하겠다.

극한의 상황에서, 두 각이 0으로 가는 삼각형의 대략적인 모양새는 선분이다. 또한, 이 선분의 끝이 아닌 꼭짓점은 그 각도의 비율로 선분을 내분하는 점 근처로 모이게 된다. 이를 이용하여 삼각형의 넓이의 근사식 등을 빠르게 구할 수 있다.


모평과 수능은 당신이 ‘아는’ 것으로 풀 수 있도록 출제되며, 누군가가 배우지 못한 것으로 풀리도록 출제되지 않는다. 자신감을 가지고 아는 것으로 문제를 풀자. 6평 수학 건승을 기원한다.

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