수학 칼럼(9)-로피탈 정리
게시글 주소: https://orbi.kr/00030600029
우선 로피탈 정리를 보겠습니다.
요약히면
입니다. 등식의 좌우를 바꿔보겠습니다.
분수꼴의 함수의 극한값을 분모,분자 각각 미분한 뒤 극한값을 쉽게 찾는 방법이 로피탈 정리라면 그 역 과정도 가능하다는 얘기가 되겠습니다. 로피탈 과정의 역과정이므로 역 로피탈의 방법이라 하겠습니다. (정리라고 하기에는... 공식 용어인지는 모르겠습니다.)
다음 문제를 보겠습니다.
함수의 극한의 가장 기본 문제가 아닐까 싶습니다.
풀이는 인수분해/약분 으로
이것을 로피탈로는
입니다. 이것을 역 방향 로피탈로 풀어보면 다음과 같습니다.
분수식의 각함수를 부정적분 하였으므로 적분 상수가 생기는 데 0/0 꼴 이 되기위한 적분 상수 C1, C2는 쉽게 결정할 수 있습니다.
왜 이렇게 풀지? 네 이렇게 안 풀어도 됩니다. 칼럼이니 참고사항정도로 생각해 주시면 감사하겠습니다.
lim sinx/x =1입니다. 같은 방법으로 로피탈, 역방향 순으로 적용해 보겠습니다.
0분의 0꼴 또는 무한 분의 무한 꼴만 되느냐?
그건 아닙니다. 다음과 같이 0곱하기 무한대 꼴에서도 적용해 보겠습니다.
물론 분수꼴로 고치면 0/0 꼴이 됩니다. 같은 거란 얘기죠...우선 풀이는 다음과 같습니다.
로피탈 정리를 이용하기 위해 분수꼴로 고치겠습니다.
역 방향 로피탈 방벙으로는 다음과 같이 더 복잡합니다.
적분 상수 C1, C2는 위에서도 언급했듯이 쉽게 구할 수 있습니다.
오히려 풀이 과정이 더 복잡한데 궅이 알 필요가 있을까?
역방향 로피탈 방법으로 풀 때 편리할 때가 있습니다.
분수꼴의 함수에 도함수(f'(x)) 가 포함되어 있거나 분수꼴로 변형했을 때 적분과정 간단한 함수들은 역방향으로 진행하는게 계산상 훨씬 간단합니다.
지금 부터 그런 문제에 대해 얘기해 보겠습니다.
위의 문제들에서 역방향 풀이를 보여야 다음 문제들의 풀이가 이해가 될거 같아 나름 노가다 해 보았습니다.
극한에 도함수가 포함되어 있습니다. 이런 경우는 역방향으로 가도 간단합니다.
위 풀이들 처럼 세 단계로 풀이를 올리겠습니다.
역시 로피탈 정리가 간단합니다.
그런데 역방향 이 그리 복잡하지 않습니다. 그래서 로피탈을 사용할거면 역방향까지 익히는게 사고력 확장에도 도움되리라 봅니다. 위의 풀이들 처럼 로피탈 정리를 이용해서 답만 구하는게 아니라 교육과정으로는 이렇게...로피탈로는 이렇게, 역방향으로는 이렇게...
그리고 역방향으로 진행했을 때 확실히 간단한 풀이가 되는 문항들이 있습니다. 문제들이 어려울수록..
다음 문제를 보겠습니다.
2018년도에 출시된 EBS 수능특강 미적분2 4단원 레벨3 문제입니다. 문제가 잘 안 보여서 타이핑 쳤습니다.
EBS에서 제공한 풀이는 길어서 생략하겠습니다, 직접 풀어보시면 더 좋겠습니다.
적분 상수를 구하는 방법, 풀이의 흐름 등은 이 글 위에서 부터 익혀왔으면 눈으로 볼 수 있는 풀이라 생각됩니다.
역방향 로피탈 방법이었습니다.
역로피탈 방법이 최적화된 풀이가 되는 문제가 있습니다. 바로
2018학년도 6월 모평 21번!!
바로 이 문항으로 인해 한 때 핫 했던 방법이라 생각됩니다. 평가원에서 다시 낼리는 없겠지만 학교 내신 에는 자주 등장하므로 현역들은 익혀두는 것이 좋다는 생각입니다. 이번 6월 모평 대비로 정현경 선생님과 제작한 어썸&랑데뷰 6평 대비 21번에도 그래서 변형 문항을 탑재해 뒀습니다. 이 칼럼과 매치 시키기 위해..
좀 더 빨리 칼럼을 썼어야 했는데..
다른 일로 바뻤기도 했지만 별 인기도 없는글이라 생각되어 크게 글을 쓰고 싶은 맘이 안 들더군요..
이번달이 가기 전에 2021 수능대비 어썸&랑데뷰 모의고사가 오르비에서 출판됩니다. 거기에 맞춰 칼럼을 써 보기로 맘먹었답니다. 10회까지는 제작하기로!!
잡언이 길었네요.
평가원은 풀이를 제시하지 않습니다. 이 문제에 대한 풀이는 당시 엄청 길었습니다.(EBS풀이)
그래서칼럼에 싣기에는 적적하지 않아 생략하도록 하겠습니다.
이 문제에 대한 로피탈 정리를 이용한 풀이입니다.
쉽지 않습니다. 그럼 역방향으로는?
다음과 같습니다.
풀이에서 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 f(x)=(x-1)^3(x+k)이다.
라고 되어 있는 부분에 대한 질문이 많습니다. 주어진 식을 직접 극한 식의 분자에 대입해 보면 이해가 될거 같습니다.
로그 극한에 대해 칼럼에서 다루고 진행했음 좋았을걸 싶은데 그럼 글이 너무 길어져서 이정도로 마무리 하겠습니다.
그리고 위 문제에 대한 또다른 풀이입니다. 로피탈과는 상관없는데 관심있는 분은 보시라고 올립니다.
마지막으로 Quiz입니다.
위 EBS 문제 변형입니다. 역방향으로 도전해 보십시오~~
2021 파이널 모의고사 어썸&랑데뷰 (어랑 모의고사) 기대해 주십시오~~
저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
국어 전체적으로 평균 3-4 왔다갔다하는 학생입니다 수시 끝나고 본격적으로 국어...
-
저만 그런가요 실모는 개쉽고 일반 문제가 훨씬어렵네요
-
라유 투자 은행 4
1, 10만덕 저축 연이율 5% 2, 투자한 덕코의 1.5% 만큼 라유가 복권 1등...
-
지금부터 수학만 한다고 해도 높2가 한계일 것 같은데..
-
나만 4
사설컨이랑 평가원이랑 괴리감이 이렇게 큰가 평가원 수학 보면 그래도 공통에서...
-
2학기 수행평가 지금 먼저 한다는데 안내도 될까요?
-
언매가 어느정도 나와야하느요..!! 교차지원 생각도 있어요 과는 상관없고 연대에...
-
전자 버스타야함 후자 도보5분 님들이면 어디감
-
시냅스 너무 안풀리는데 13
뉴런을 계속 복습하는게 좋을까요? 수능 이제 얼마 안남았는데 이제 뉴런수1 끝냈어요...
-
나도 풀어보고싶어
-
김뭉먕 <<< goat
-
한수 페이지에 팔던게 할까마ㅏㄹ까 고민중인데 어떰?
-
경유야… 페이커가 우스워…?
-
공통을 잘하면 미적분도 잘한다 는 항상 성립하지 않으므로 거짓 미적분만 해야겠...
-
상위권 교차 이런걸로 문과도 영향 갈 수 있나요…? 물론 제가 최상위권 지망은...
-
닥후임??
-
어 ㅅㅂ 포에서 조금 바이럴 햇다가 너도나도 이매진 푸는 분위기 됨 ㅈ됨 나만 풀거였는데
-
갠적으로 강대x는 너무 어려웠어요…
-
저 같은 학생따가리 입장에선 문학 자작 문제가 비문학보다 만들기 쉬운듯
-
수능 100일의 전사 드가자~ 2주만 더 놀고 공부해야지
-
현역이고ㅠ내친구 현강 듣는거같은데 숨기는 심리는 뭐임?
-
오래된 문젠데 계산은 그리 복잡하지 않았던 걸로 기억함 답은 있는데 해설이...
-
천동설 ㄷㄷ
-
사문-개념3회독(불후의 명강,스피드버전,최적 스피드) 도표(엠스킬)2회독+ 기출...
-
꿀맛
-
뭐 어떻게 공부해야하죠 ㅅㅂ ㅈ됐다 규조토니 애추니 뭐니 모르겠는데
-
대성아니면 해설 잘되어있는 책으로 낮2 중3 왔다갔다함 피지컬n제 n제게임 4규s1...
-
김기현 아이디어에서 배우는것들 말고도 기출생각집이나 커넥션 같은 강의에서 새로 배우는거 많나요?
-
고영근 교수의 표준중세국어문법론으로 입문하면 좋습니다 다만 돈이 좀 아깝다면...
-
국어 연계 0
이매진 8호까지 문학만 풀고 강민철 이비에스 독서랑 앱스키마로 하면 연계충분할까요?...
-
똑바로 안읽어서 틀린 문제엔 주의할 점 + 정신차리라고 욕도 가끔 써놨는데...
-
이매진 0
이매진 8호까지 문학만 풀고 강민철 이비에스 독서랑 앱스키마로 하면 연계충분할까요?...
-
??
-
아오
-
일반고고 전교과는 2.9에 수학만 전부 1이에요.. 종합 넣을때 이점이 있을까요..?
-
전역하고싶어 3
-
고 1
고
-
수학:96 영어:98 물리:46 지구:44 나름 자랑하는건데 씹갓들에 비하면... 부끄럽네요ㅜ
-
젠장 또 하니야 5
기습숭배
-
비추임?
-
금연 포기 0
두달 시도했는데 그냥 입시 끝나고 끊는게 맞는듯 ㅋㅋ
-
언니 장수생인데 아빠가 대학붙고 바로 공무원시험준비 하라니까 7
어제 싸우고 오늘도 계속 울던데 아빠가 잘못한건 아니지않나요? 성적도 어느정도 잘...
-
흠흠...
-
강남대성학원 재수종합반, 두각학원 단과 출강하시며 강남대성수능연구소에 계신...
-
1배속하면 말이 너무 느림. 현강 들을땐 안어색한거보면 인강으로 올릴 때 자체...
-
그래? 알앤디 한번 삭감했더니 문과가 살아나네!
-
다들 성적상승 1
계단식으로 오른다는걸 언제 어떻게 느껴보셨나요?
-
이매진 0
이매진이 연계 전작품 다있다는데 이거 8호까지 다풀고 복습하면 연계 충분한가요?
네 역로피탈의 정리라고 하지 않았습니다.
어머머 ~~ 정말 많은 생각을 하게 되는 포스팅이네요 ^^ 다만 고등학교 교과에서는 학생에 따라 갖가지 오해와 고민이 유발될 수 있는 개념이라 약간 투머치일 수는 있겠네요~~^^ 공감과 댓글 샤샥 작성하구 갑니다^^ 잇님도 제 블로그 놀러오세요~*^^*
칼럼 잘보고있습니다~
혹시 제가 올린 로피탈 질문글 이 성립하는지 봐주실수 있으신가요?
역시 굿굿!! 갓갓!!
혹시 맨 마지막 퀴즈 답이 4인가요?
아닙니다.
f가 어떻게 나왔을까요?