교과서와 기출로 공부했어요(2)
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교과서와 기출로 공부했어요. (1)
전에 칼럼 썼는데 묻혀져서.. 안쓰고 대신 책쓰고 있었습니다.
반말로 진행함. 거의 처음으로 반말투로 진행함.
약간 불편하면 의견주세요. 다음부터 경어체써드립니다.
+. 텍스트 독해의 이해.
우리는 왜 글을 읽을까?
다음은 이번년도 고3 3월 모의평가 국어야. 읽어보도록 하자.
우리가 텍스트를 독해하는 이유는 간단해. 우리가 몰랐던 것을 알기 위해서야.
그리고 많은 교수자는 우리가 몰랐던 것을 알게하기 위해서 우리 스스로 질문하고 토론하기를 원하곤 해.
즉, 좋은 책이나 좋은 컨텐츠는 우리 스스로 질문하고 토론하게 하는 것이야.
그것이 우리에게 더 많이 남게되거든.
이상적인 독해라는 것은, 반드시 질문을 포함하게 되어있어.
그것을 이용해 독자와 토론을 하도록 만드는거야. 반드시 기억해야해.
위 글을 읽을 때도 ㄱ 부분의 [부양가족이 있는 사람에게는 개인의 총 소득 중 일부를 공제한 뒤에 세율을 적용한다.]
그리고 그 다음 문장에서 [과세 대상 소득으로부터 얻는 만족감이 동일한 자에게, 동일한 조세 부담을 요구하는 것이 공평하다고 생각되기 때문이다.]
과연, ㄱ 부분의 문장의 이유가 뒷 문장이 되는 이유가 무엇인지에 대해 궁금해해야해.
그 이후부터는 용어를 설명하고 있는데, 그 용어에 대해서 정리하면서 넘어가면 돼.
또한, 실제로 세금을 직접 구하는 부분에서 어떻게 위의 정리한 용어들이 적용되는지 확인해볼 수 있을거야.
두번째 문단을 보자.
[대다수 국가에서 소득세는 누진 세율 구조를 적용하고 있는데, 그 이유는 경제적 능력에 따라 조세를 부담하는 것이 공평하다고 생각되기 때문이다.
일찍이 공리주의자 밀은 조세 부담이 개인의 소득 감소를 유발하므로 세금 납부에 따른 경제적 희생, 즉 효용의 손실이 균등해야 공평하다고 보았다.
이를 균등 희생 원리라고 하는데, 밀의 이러한 주장은 후대 학자들에 의해 누진 세율 구조를 옹호하는 근거로 활용되었다.
여기서 희생이란 세액 자체가 아니라 납세로 인한 총효용의 감소분이다.
그런데 밀은 균등하다는 것이 구체적으로 어떤 의미인지는 논하지 않았다.
이에 후대 학자들은 균등의 의미를 절대 희생 균등의 원칙, 비례 희생 균등의 원칙, 한계 희생 균등의 원칙으로 구분하여 논의하였다.]
읽을 때, 아마 이런식의 질문과 답변을 하면서 읽게 될거야.
대다수 국가에서 소득세는 누진 세율 구조를 적용하고 있는데, 그 이유는 경제적 능력에 따라 조세를 부담하는 것이 공평하다고 생각되기 때문이다.
-> 왜? 공평하다고 생각하는걸까?
일찍이 공리주의자 밀은 조세 부담이 개인의 소득 감소를 유발하므로 세금 납부에 따른 경제적 희생, 즉 효용의 손실이 균등해야 공평하다고 보았다.
이를 균등 희생 원리라고 하는데, 밀의 이러한 주장은 후대 학자들에 의해 누진 세율 구조를 옹호하는 근거로 활용되었다.
-> 아! 이런 이유 때문에 누진 세율 구조가 공평하다고 말할 수 있겠구나!
여기서 희생이란 세액 자체가 아니라 납세로 인한 총효용의 감소분이다.
그런데 밀은 균등하다는 것이 구체적으로 어떤 의미인지는 논하지 않았다.
-> 그러면 균등하다는 것이 어떤 의미일까?
이에 후대 학자들은 균등의 의미를 절대 희생 균등의 원칙, 비례 희생 균등의 원칙, 한계 희생 균등의 원칙으로 구분하여 논의하였다.
-> ????????? 이게 무슨 말일까?
이런 식으로 질문하면서, 답이 본문에 있을 경우, 그것을 정리하는 방식으로,
답이 본문에 없다면 의문을 계속 가지면서 읽는 것이 보통의 텍스트를 읽는 방식이야.
이렇게 의문을 가지게 만들고 해결하도록 저자는 독자를 위해 글에 여러가지 의문과 예시를 적어두게 돼.
그리고 이것은 이전에도 말했듯이, 수학 교과서를 읽을 때도 똑같이 적용해야해.
교과서의 생각열기, 그리고 본문에서 생각하고 질문할만한 것이 있는지, 그리고 그걸 해결할 수 있는지 생각해봐야해.
다행스럽게도 교과서의 생각열기와 본문은 그러한 의문들을 떠올리는 것이 가능하도록 지어졌어.
그리고 교과서 안에서 질문해야할 것은 하나가 더 있어.
3. 교과서 활용법 : 예제
여러분은 이제 예제를 보게 될텐데, 교과서의 예제는 모범풀이와 같은 개념이야.
즉, 교과서의 풀이가 왜? 이렇게 서술되어있는지 여러분은 질문하고 답변해야해.
(출처 : 교학사 2015 개정 수학 2 교과서)
-> 왜? 분모의 최고차항으로 나눠야할까?
-> 왜 기울기가 주어져 있거나, 바깥의 한 점이 주어져 있을 때도 접점을 찾게될까?
->왜 두 함수의 대소관계를 밝히기 위해서, f(x)-g(x)=h(x)를 정의하여 최솟값이 0보다 크거나 같음을 보여야할까?
여러분은 이러한 의문을 계속 떠올렸을까?
예제풀이는 교과서에서의 모범답안이고, 이것은 수능에서의 모범답안과 연결이 돼.
즉, 여러분은 이러한 의문에 대해서 최대한 깊게 생각하고 떠올려야하는데
지금 이 교과서에서는 이러한 의문을 대신 해주고 있어.
[어떤 함수를 이용할 것인가?]
[극한은어떻게 구할 수 있는가?]
[접선의 방정식을 구하기 위하여 알아야 할 것은 무엇인가?]
이러한 의문에 대해서는 여러분이 원래 만들어야 하는 것이야.
그리고 조만간 나도 여러분에게 이러한 의문을 계속해서 던져줄테니 기대해주세요! 제발!
4. 행동영역은 개념에서 비롯된다!
2013학년도 9월 평가원 공통 30번
2015학년도 9월 평가원 A형 30번
이 문제를 풀 때, 어떻게 접근해야 할까?
여러분은 지수함수와 로그함수를 어떻게 그렸을까?
로그함수는 지수함수를 y=x 직선 대칭을 하여 구할 수 있다고 한다.
즉, 마찬가지로 밑이 2인 로그함수 또한, (1,0), (2,1), (4,2)... 를 찍어서 이었을 것으로 생각할 수 있다.
이 문제를 풀 때, 여러분은 반드시 지수함수와 로그함수의 그래프를 그리게 될 것이고,
반드시 지수함수와 로그함수의 특징점을 기준으로 생각해야 문제에 접근할 수 있다.
그것이 지수함수와 로그함수를 그리는 방법이었기 때문이다.
2013학년도 9월 30번에서 각각의 그래프를 그리기 위해선, y=1, y=2, y=3이 되는 점을 찾아서 찍고 이었어야 했다.
그리고 마찬가지로 2015학년도 9월 30번의 그래프를 그리기 위해, x=1, x=2, x=3인 점을 찾아서 찍고 이었어야 했다.
문제풀이의 시작 또한 이 점을 기준으로 시작할 수 있다.
우연히도 x좌표와 y좌표 모두 자연수일 때의 상황을 물어보았고, 그것을 기준으로 조건에 맞는 정사각형을 찾을 수 있었다.
(물론 우연하지 않다. 위 두 문제에서 요구하는 것은 지수함수와 로그함수 그래프를 그리고 활용할 수 있는지에 관한 것이다.
즉, 지수함수와 로그함수의 그래프를 그리는 방식이 바로 위와 같으므로, 반드시 특징점을 문제에서 구하도록 디자인 할 것이다.)
마찬가지로 원의 중심 또한 특징점부터 고려할 수 있는데, 이 특징점에서는 조건에 반드시 맞지 않는다.
이 점을 기준으로 움직여보면서 생각하면 규칙에 부합하는 중심의 좌표를 찾을 수 있다.
접근 방법의 기본은, 단언컨대 개념이다.
그래프를 어떻게 그렸는지 생각해본다면, 우리가 먼저 생각해야할 지점이 반드시 보인다.
출처 : 그-책 221페이지
미안하다이거보여주려고어그로..
는 아니고 설명을 해보자.
현재 문제의 상황은, 굉장히 복잡하다.
g(x)의 모양도 불편하고, h(x)의 모양도 불편하며 마지막으로 수열의 정의와 그에 대한 극한도 불편하다.
고민을 해보면, 수열의 정의는 h(x)와 관련이 있을 것이다.
h(x)는 g(x)에 대한 함수이므로, 우리는 g(x)를 해석해야만 문제를 풀 수 있을 것 같다.
생각의 일부를 보면 다음과 같다.
출처 : 그-책 해설 50페이지
(여러분이 풀이를 보면 알겠지만, 계속해서 풀이에서도 질문을 계속한다.
납득가능한 풀이, 정확한 풀이를 위해서는 너무나도 당연하게 질문이 있을 수 밖에 없음을 기억하자.)
분명한 것은, g(x)의 식의 의미는 f(x)-x를 평행이동 후 2의 n승을 나누었다는 의미라는 점이다.
그러나 우리가 불편했던 이유는 x가 따로 더해졌기 때문이다.
이제, 우리는 우변의 x를 넘겨 g(x)-x를 만들어보자. 그 때, 0<x<1 구간에서 좌변은 f(x)-x가 된다.
출처 : 그-책 해설 50~51페이지
(심지어 이 생각 전개에서도 질문에 대한 답으로 확실해진 것이 보인다.
문제는 막힐 수도 있다.
다만 막히는게 문제가 아니라, 그 막히는 현상 속에서 질문하고 답하는 습관이 없기 때문에 문제이다.)
이제 우리의 의문과 그에 대한 해소는 다음과 같다.
이 식에서 +x 앞의 식은 평행이동으로 해석할 수 있었다는 점.
그러나, +x는 곱해지는 것 없이 따로 더해진 것이라, 해석하기 어려웠던 점이 있었다.
특히 +x 앞의 식은 n에 관한 식으로 생각할 수 있지만, +x가 붙어버려서 해석이 어려웠던 것으로,
명백하게 불편한건 x였다.
행동영역이라는 것은, 결국 개념에서부터 나오는 것으로,
위 문항 모두 우리가 개념을 배울 때 학습했던 원칙에 입각하여 처음의 접근을 하였고,
그에 대한 접근을 함에 있어서 불편하거나 이상한 점을 어떻게 해결할까에 대한 고민이 문제풀이의 핵심이 되었다.
즉, 반대로 말해서, 기출 분석이라 함은 교과서에서 배운 것을 근거로 한 납득 가능한 풀이를 재현하는 것이다.
그리고, 그러한 믿음직한 풀이를 여러분이 어떤 상황에서라도 재현할 수 있고, 여러분 스스로 납득 가능하다면
어떤 문제에서도 안정적인 1등급 이상을 당연하게도 받을 수 있을 것이다.
결론. 교과서와 기출로 공부한다는 것의 의미.
이러한 모든 과정에서, 당연하게 적용되는 한 문장은 다음과 같을 것이다.
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각의 양은 질문의 양과 같다.
이 말을 정말 많이하게 된다.
여러분이 개념과 개념간의 관계를 정확하게 정리할수록
기출에서 개념에 입각해서 그 풀이의 처음 접근과 그 순서또한 필연적인, 납득가능한 것이 될수록
여러분은 안정적인 실력을 갖게 될 것이다.
반대로, 그것을 이루기 위해서는 계속해서 여러분의 개념 공부와 기출문제 풀이에 대해 질문해야 하는 것이다.
p.s.) 쓰고보니 4. 부터는 진지체로 갔구나... 미안합니다.
와우 세상에, 이렇게 질문해주는 책이 있다고?
여기 가봐! 질문으로 여러분의 생각을 이끌어주는 책이 있어!
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짬짜면을 먹는 듯한 칼럼 감사합니다수학 쓴다고 국어는 못쓸줄알았나..!
질문은 언제 어디서나 패시브가 되어야한다구
하여튼 혼종 봐주셔서 ㄱㅅㄱㅅ
독서도 교과서가 있던데 보셨나요? 참고하면 도움될까요?
도움은 됩니다. 다만 독해의 스킬에 집중하여 보시길 바랍니다.
정리된 것이 있다면 그게 더 도움이 될수있습니다.
ㅎㅇㅌㅎㅇㅌ
제가 지금 교과서랑 기출문제로 기출분석하면서 머릿속에 개념 정립 중인데 이 방법을 토대로 적용시켜봐야겠군요. 감사합니다.
ㅎㅇㅌ하셔요!!
너무 좋은책같네요 이과생이 읽어도 되는거죵??
미적분이라 이과생 대상입니다.
댓글로 질문하나 남겨도 될까요?
현역 16수능 수학 3등급
작년 20수능 수학 3등급 받은 N수생입니다.
올 1월부터 4월까지 기출 3회독과 N제를 병행했습니다.
1회독:모든 문제를 풀고난뒤 모든 문제의 해설과 비교해서 다른 풀이가 존재하거나 못푼것들 체크
2회독:체크한 문제들 풀며 다른 풀이 연습
3회독:2회독에서 힘들어한 문제들을 다시 연습
위와 같은 방향으로 3회독을 했습니다. 기출의 흐름, 일관된 태도 이런거는 생각도하지 않고 그냥 다양한 풀이 방법과 조건 해석들만 익혔습니다. 수학에 시간을 많이 투자해서 그런지 3평에서 처음으로 수학 1등급을 받았고 제 스스로도 수학 실력이 많이 향상되었다고 느꼇습니다. 그런데 문제를 푼 과정을 다시 생각해보니 작년 수능과 다를바 없더라구요.
문제를 보고 문제 해결 방법이 떠오를때 까지 무작정 찔러보다가 안되면 포기하고 다시보고 안되면 그냥 막 찔러 보고 포기하고.(다른 문제의 경우 위와 같은 방식으로 다 해결했는데 28번은 찔러도 찔러도 안보여서 틀렸습니다.)
만약 모의 평가가 아닌 수능이였다면 28번 문제 하나로 인해 다른 문제들을 못 풀었을게 예측 되더라구요. 그래서 많은 멘토분들의 칼럼을 읽다가 공통된 점을 하나 찾았습니다.
방법은 모두 다르더라도 기출 문제를 통한 일관된 접근법과 필연적인 풀이법을 체화하는걸 강조하시더라구요.
그래서 검색을 통해 양승진 선생님의 기출 코드 강좌를 수강하고 현재 다시 기출을 풀며 쉬운 4점이라도 계속해서 모든 과정에 태클 걸어가며 풀다보니 뭔가 깨달음이 생기더라구요.
수능은 학생의 수학적 발상력을 시험하는게 아닌, 수능이 요구하는 사고력을 갖췄는지 평가하는 시험이다 -> 시간이 흐르며 교육과정과 출제진은 달라지지만, 교육과정에서 특정 단원을 통해 학생들에게 가르치려 하는 내용(단원별 학습목표)는 큰 변화가 없다. -> 수능에서도 문제를 통해 테스트 하고자 하는 학생의 능력은 큰 변화가 없을것이다. -> 기출을 통해 필연적이며 일관된 문제 접근법(출제자 의도에 맞는 접근법)을 체화하면 미래의 기출 문제에서도 그 접근 법이 통할것이다. -> 그래서 늘 멘토, 공부 잘하는 친구들이 교과서와 기출을 강조한것이다. -> 《질문하고 생각하는 수학》과 기출을 통해 평가원이 요구하는 능력을 갖추자.
이렇게 생각이 드는데 청의미님이 생각하시기에는 어떠신가요?
뭔가 당연한 말 같기는 한데 가능한한 빠르게 좋은 결과를 내야할 상황이라 확답을 알고싶네요 ㅠ
맞습니다.
그리고 많은 학생들이 이해하기 어려운 점이, 최소도구가 어떻게 유리할 수 있는지에 대한 것입니다.
최소도구가 다수도구보다 유리한 상황은 기본개념에 의해 습득된 도구에 대해 숙련도가 높고 질문을 떠올리는 훈련을 많이 한 경우입니다.
이때 유리한 점은 어떠한 고민할 것이 없다는 점입니다.
만약 다수도구에 대한 적응증을 모두 [이해하며] [정확하게], 그리고 [헷갈림 없이]쓸 수 있다면 상관없습니다.
그러나, 애초에 그것을 달성하기에는 너무나도 많은 시간이 들게됩니다...
지금 28번을 풀었을때 여러가지 방법으로 시도했을 때 안된 이유도 그것일 것 같습니다. 정확하게 이 방법을 왜 써야하는지 해석을 못하고 적용만 하신게 아닌가 싶습니다. 적어도 기본개념의 도구는 철저하게 하시고 그 이유까지 해석하신 후 선택사항으로 다른걸 하시는게 맞습니다.
대략 몇가지 질문을 하시면 되는데
모든 개념에 대해서
[왜 이 개념이 있어야하는가? 어떤 개념과 관련되는가?]
모든 예제에 대하여
[무슨 개념에 의해서 왜 이렇게 풀어야하는가?]
모든 기출문제에 대해서
[왜 여기부터 시작해야 하는가? 왜 이렇게 풀어야하는가? 왜 이순서로 접근해야하는가?]
를 질문해주시고 답하시면 공부가 되실것입니다..
감사합니다! 작년에는 도구보다는 개념에 비중을둔 강의를, 올해는 개념보다는 도구정리에 비중을둔 강의를 수강 했습니다. 초반에는 많은 도구들을 보고 작년에는 강의를 잘못 선택했구나.. 하고 생각을 했는데 요즘 기출을 다시 풀어보면서 다수조건이 수능 1등급의 필요조건이 아니란걸 많이 느끼고 있습니다. 앞으로도 저같은 중생들을 위해 좋은 칼럼 좋은 책 부탁드려요!
2021수능(가형)임하는데 노베가 저책이랑 기출문제집만으로 수능에 임해도 괜찮을까여??? 저책(가형기준)언제쯤 출간되나요?? 가형범위에 맞는범위만요..
아뇨. 애초에 이 책은 교과서를 대체하거나, 무언가를 대체할 책이 아닙니다.
교과서와 기출을 공부할 때 도움이 되는 책일 뿐 그 이상이 절대 아니라고 말씀드리겠습니다.
무언가 한정된 것 만으로 수능에 임하시겠다는 생각은 하지 않으시면 좋을 것 같습니다.
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