이과 수학덕후들만 보세요. [합성함수의 미분법]의 증명에 대한 보충설명
게시글 주소: https://orbi.kr/0002972671
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
삼페 등록 안했는데 점심 어떻게 먹죠...... 계좌이체도 받아주시려나........
-
수학 예시문항 현 미적분과정 문제들 뭔지 좀 알려줄수있음? 2
기하하는데 현 공통과정만 풀려고 겉보기로는 구별 안되서
-
문항공모는 하던데..
-
진짜 개빡치네
-
저도 작년 이맘때쯤 물1이 너무 힘들고 잘 안돼서 생1갈까 생각 정말 많이 했었는데...
-
일물 물2 질문 0
이거 가속도 계산할 때 관성모멘트 안 쓰고 하는 법 있을까뇨?ㅠㅠ 이채연 4덮
-
https://orbi.kr/00072866211 투표 결과가 별로면 명품 얘기 좀 줄이겠습니다
-
재수생까지 해서 20만명 예정이라는데 작년 꿀 영향보고 오는 것 같아서 상위권 표본...
-
길 웰케 막히지 0
진짜 좀만 늦게 출발했어도 늦을 뻔
-
4덮 언미영생지 72 85 100 42 33
-
-
제곧내
-
문제 중복 되는거 많나요...?
-
메가패스 하나 있습니다 시험지 난도와 상관없이 만년 70후반~80초반 나옵니다 제...
-
ㅈㄱㄴ
-
-
오늘부터 쭉 기원해야지 그정도 하면 들어주지 않을까
-
이제 체대 나갈 것도 없으니 그냥 푸씨처럼 체육복 안 입고 화장했다 학교 사람들 긴장해라
-
.
-
맨유야 이길거면 좀 편하게 이겨줘..
-
야간편붕이일 0
끝낫다
-
카페인보다 속아파서 잠깸
-
어째 비올것같냐 0
내일온다고 돼있는데
-
공부시작. 2
-
언매 80 수학 45 정법 32 사문 41
-
햇빛이 너무 뜨거워 한번 발라봐야지 헤헤
-
혹시 이것들중에서 수학문제집 추천을 해주실분.... 1
안녕하세요 수학개념서로 한완수 한시수를 추천받았는데요 작은 소도시에 살고있어서 아예...
-
[질문] 소설 0
수능3 3모 문학 5틀 쉰베르크 4틀 4덮 소설 4틀 시 1틀 독 1틀 시험 볼 때...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이걸 둘 다 올라가네
-
잘친건가오
-
현역으로 어느정도 괜찮은 대학 갔으면 그냥 다니는 것도 괜찮은 선택 같아요 물론...
-
혹시 재종/단과에서 재고 구할 수 있으신 분들.. 혹은 재종에서 받아서 어차피 버릴...
-
D-209 0
영어단어 영단어장 11day 복습(440단어 일부) 수학 원순열 ~중복순열 고난도 풀기 (5문제)
-
하나는 독서 기술지문 아는 내용이어서 배경지식이 개입하다 오히려 틀림 하나는 문학...
-
그럼 문풀할 때 진짜 “여기서 윤스 타임 세그멘테이션을 쓴 다음 윤스 블러드 타입...
-
더프쨩.. 평갸원도 아닌 허접~ 최저~
-
성공!
-
꾀병 시도했는데 5
쌤이 허락해주셨는데 양심에 찔려서 그냥 가겠다고 함 우이씨ㅜㅜ
-
좋은 조건으로 실업팀 계약과 경찰대 연고대 편입 모두 합격하는꿈인데 일어나신 분들께...
-
화작 71 확통 51 영어 79 정법 31 사문 42 4덮 더프 더프리미엄 대성...
-
ㅇㅂㄱ 0
사실 지금 일어난 건 아니고 매월승리 좀 풀고 왔습니다. 20시간을 오늘 24시까지...
-
ㅇㅂㄱ 2
피곤합니다
-
3덮 미적 62 →→ 4덮 확통 96(15번 틀) ㅁㅌㅊ??
-
재수때 교대갔으면 삼반 안했으려나
-
오늘부터 시작이다
-
3덮 미적 85 나왔는데 뉴런은 좀 어렵네요 꾸역꾸역 듣는게 좋을까요 아님 시발점 들을까요?
-
-
랜덤사진 1
-
기차또지나간당 6
게을ㄹㄹㄹ렁
-
진짜 ㅈ같네
합성함수의 미분법이 고교과정에선 완전하게 증명이 안 됐나요?
질문에 답해드리자면 Partialy Yes, Partialy No. 입니다. 수능에선 별 상관없는 미묘한 문제가 하나 걸려있는데요. 이번 글에서 바로 그 부분을 설명하고 있습니다. ^^
이번 글에선 더 이상 자세히 쓰진 않겠습니다.
이 부분이 궁금했는뎅 ㅠㅠ
고등학교 과정에서 다루는 함수들만 생각해보면, 고등학교 교과서에서 소개하는 수준의 증명으로도 충분하다는 것이 이번 글의 주제입니다. 그 근거들을 정확히 이해할 수 있다면 수리가형을 풀이하는데 필요한 실력을 쌓는데 도움이 많이 되거든요. ㅎ
제가 이 글에서 미분계수의 또 다른 정의와 이것을 이용한 연쇄법칙의 증명을 다루지 않은 이유는 (마치 극한의 입실론-델타 논법처럼) 수능이란 시험에선 별 도움이 안 되기 때문입니다. 이 부분은 학문적 즐거움을 위한 요소이지 수능을 위한 요소는 아니란 거죠.ㅎㅎ 정말 수학을 좋아하고 직업으로 수학자가 되고 싶어하는 일부 학생들을 위해서 입구가 여기에 있다는 정도만 언급한 것이라 이해해주세요.
정말 너무 궁금해서 견딜 수 없는 학생이 있다면 저에게 쪽지 주세요. 그럼 어떤 책의 어느 부분을 봐야 하는지 안내해드리겠습니다.
y=f(u), u=g(x) 가 미분가능하면,
u=g(x)가 미분 가능하므로
lim(Δx->0) Δu/Δx = g'(x) 이다. 따라서 e1= Δu/Δx - g'(x) 라 하면
Δu = (g'(x)+e1)Δx 이고 lim(Δx->0) e1 = 0 이다.
또 Δx->0 이면 Δu->0 임을 알 수 있다.
같은 방법으로 y= f(u) 가 미분 가능하므로
Δy = (f'(g(a)) +e2)Δu 이고 lim(Δu->0) e2 =0 이다.
그런데 Δy= (f'(g(x)) +e2)(g'(x)+ e1)Δx 이므로
dy/dx = lim(Δx->0) Δx/Δy = lim(Δx->0)(f'(g(x)) +e2)(g'(x)+e1)
= lim(Δx->0)(f'(g(x)) +e2) lim(Δx->0) (g'(x) +e1) 이다.
Δx->0 일 때 Δu ->0 이므로
dy/dx = f'(g(x))g'(x) 이다
알기 쉬운 해석학(장건수 외5인) 에 나와있는 증명입니다
옙. 이런 방식으로 증명해요. 감사합니다. 제 수고를 덜어주셔서. ^^
사실 제가 생각하는 가장 깔끔하면서도 일반적인 증명법은, 미분계수를 정의하는 성질인 'best linear approximation property' (라고 거창하게 부르기도 뭣하지만 어쨋든 그런 성질)을 이용하는 증명입니다.
이게 중요한 이유는
(1) 미분계수의 기하학적인 의미를 아주 명확하게 보여주며
(2) 이 성질이 사실상 미분가능성과 동치이고
(3) 이 성질은 더 넓은 범위로도 확장하여 사용 가능하기 때문입니다. 예를 들면 선형사상이나 functional같은 함수들도 미분 가능하지요.
오!! sos440님이 코멘트 해주시다니 영광입니다.^^
(블로그 재미있게 보고 있어요. 제 실력이 부족해서 이해 못하는 부분이 많지만요. ㅠㅠ)
한가지 간단한 질문이 있는데요. best linear approximation이란 게 정확히 무엇을 가리키는지요?
제가 알고 있는 범위에서는
주어진 함수를 local하게 일차식으로 근사시키고, 여기에 little o로 표현되는 error term 하나 붙이는 방식을 가리키는 것이라 생각되는데요.
"best"라는 말이 붙어서 혹시 다른 게 아닌가 싶어서 질문 드립니다.
제가 생각하고 있는 그 성질이 아니라면 간단하게 좌표 찍어주시면 대단히 감사하겠습니다. ^^
허허, 영광이라뇨...;; 뭐 사실 그 말이 그 말이라 딱히 다른 개념은 아닌데요, 그냥
[성질] 임의의 ε > 0 에 대하여, 어떤 δ > 0 이 존재하여, |Δx| < δ 이면 항상 | f(x+Δx) - (f(x) + f'(x)Δx) | ≤ ε|Δx| 이다.
를 만족하면 함수 f 가 x에서 미분 가능하고 미분계수가 f'(x) 라는 식으로 조금만 말을 바꾼 것이죠.
깔끔하네요. 감사합니다! :)
블로그 주소도 써주세요...
sodong212.blog.me 입니다. :)