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대동여지 [954940] · MS 2020 · 쪽지

2020-04-02 16:46:54
조회수 300

수학 질문,, 상상이 안됨

게시글 주소: https://orbi.kr/00029046545

f(x+y)=f(x)+f(y), f(x)는 실수 전체에서 미분 가능.


이 조건이면 f(x)는 원점을 지나는 직선이잖아요


근데 저기서 미분가능 조건을 빼면 안되나요? 모든 실수에서 저 식이 성립한다면, 미분 불가능해도 원점 지나는 직선 나올꺼같은 느낌만 들고 잘 모르겟어요ㅠ 수학 잘하시는분 설명 부탁드려오ㅜㅜ

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대동여지 [954940]

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 16:47 · MS 2016

    저게 왜 직선이죠?

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 16:50 · MS 2020
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  • psycho · 722716 · 20/04/02 16:58 · MS 2016 (수정됨)

    그걸 x에 대한 함수로 보고 y는 상수 취급해버리고 미분하면 f'(x+y) = f'(x) 가 나오고 이때 y값을 무슨 값을 가져도 성립하므로 x값이 무슨 값을 가져도 일정한 값이면 성립하죠. 그래서 f(x) 형태는 상수함수의 적분함수꼴로 나온다고 볼 수도 있습니다...

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 17:00 · MS 2020

    음 그쵸..? 네 글구 f0=0이어서 원점 지나구여 근데 저게 미분 가능조건이 없을때는 이런식으로 증명 불가능하니까..(? 어떻게 될지 궁금하ㅣㅐ요

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  • Sunny side up · 960158 · 20/04/02 16:51 · MS 2020

    저런 f(x)는 ax의 형태일걸요

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 16:49 · MS 2016

    편미분 공부할 때 많이 사용할만한 표기법입니다. 단 조심할 것은 저런 표기에서 나오는 x와 y를 우리가 기존에 함수표기에서 사용하는 y=f(x)에서의 x, y로 생각하는 것은 잘못된 생각입니다.
    저런 식에서 x, y는 그냥 x(1), x(2) 그렇게 생각하셔야 합니다...

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 16:51 · MS 2016

    f(x+y) = f(x) x f(y)
    f(xy) = f(x) + f(y)
    위 두개는 지수함수하고 로그함수고요
    저런 편미분 공부할 때 많이 나오는게
    f(x+y) = f(x) + f(y) -2xy
    뭐 이런겁니다...

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 16:53 · MS 2020

    음 이때도 미분가능조건 달려있는거죠? 그런 식들에서 미분가능 조건 빼면 성립 안하게 되나요??

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 16:55 · MS 2016

    미분가능하지 않으면 편미분 공부할 때 쓸일이 없죠

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 16:57 · MS 2020

    음 편미분 공부는 안해바서 필요없는 (벗어난) 질문일 수도 있긴하지만, 예를들어 저런식을 만들어 역으로 미분가능을 추정하거나..? 그럴수 잇지않을까요? 저런 식에 항상 미분가능이 붙어있던데 없으면 어떻게 될지 궁금해요

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 17:00 · MS 2016

    없으면 위에 올린 사진처럼 미분계수 정의써야 하는거고요 미분가능조건이 있으면 그냥 막바로 편미분으로 들어가서 처리하면 됩니다...

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 17:01 · MS 2020

    근데 저 미분계수 정의도 미분가능을 전제로 들어가는거아닌가요?

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  • psycho · 722716 · 20/04/02 17:05 · MS 2016

    미분계수값이 존재하면 미분가능한겁니다... 값이 존재하지 않으면 미분불가능한거고요...
    미분가능할때만 미분계수 정의를 쓸수 있다면 언제 미분가능한건지 어떻게 알 수 있겠습니까... 즉, 미분계수 정의를 써서
    결과가 있으면 미분가능한거고
    결과가 없으면 미분불가능한거고
    물론 단변수 함수에서 그리고 점에서 따질때요...

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 17:16 · MS 2020

    음 미분계수가 있는지 없는지 모르는건 안될까요..? 사실 저 상황이 어떨지 잘 상상이 안되는거라 저도 뭘 묻고싶은건지 표현을 못하겠는데ㅜ 음 그냥 저 식은 항상 미분이 가능한, 약간 이런건가요??

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  • Sunny side up · 960158 · 20/04/02 16:53 · MS 2020

    좋은 예시를 갖고 오기 힘들긴 한데
    x가 무리수 일때는 f(x)=0이고 유리수 일때는 f(x)=x인 그래프
    뭐 이런거 가져오면 저 식을 성립시키지 않을까요

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  • Sunny side up · 960158 · 20/04/02 16:53 · MS 2020

    사실 제가 든 예시도 잘못되긴 했는데 어쨌든 비슷한 거요

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  • 대동여지 · 954940 · 20/04/02 16:59 · MS 2020

    ㅜ이경우는 안되는거 같은데요 (혹시 답글 2번달렸으면 제폰에서 첫번째 단 답글 안떠서 다시단겁니다) 미분가능없어도 저 식은 실수전체에서 성립할때 쫘라락 다 이어질꺼같은 느낌이 드는데 그게 느낌이어서 ,, ㅜ 불가능할까요?

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  • Sunny side up · 960158 · 20/04/02 17:41 · MS 2020

    잘 모르겠지만 불가능할것 같은 느낌이네요

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