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아이라라 [366888] · MS 2011 · 쪽지

2012-05-02 00:11:14
조회수 451

극한 미분쪽 문제좀 풀어주세여 ㅜ

게시글 주소: https://orbi.kr/0002887114

임의의 양수 a b 에 대하여 다음 두 조건을 만족하고 g(x)=f(x+h)-f(x)/h 이다 g(2)의 값은?
조건. a>=f(a)
        f(ab)=<f(a)+f(b)-1

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아이라라 [366888]

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  • sos440 · 104180 · 12/05/02 02:21 · MS 2005

    g(x)의 정의에서 등장하는 h의 정체가 무엇인지 제시가 되어있지 않네요.

    어쨋든 우리가 할 수 있는 최선을 다 하기 위하여, 임의의 실수 x에 대하여 함수 p(x)를 다음과 같이 정의합시다:

    p(x) = f(e^x) - 1.

    그러면 간단한 대입을 통하여

    (1) p(x) ≤ e^x - 1 (x는 실수)
    (2) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) (x, y는 실수)

    임을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 임의의 실수 x와 자연수 n에 대하여, y = x/n 로 두면

    p(x)
    = p(ny)
    ≤ p(y) + p((n-1)y)
    …
    ≤ np(y)
    = np(x/n) ≤ n(e^(x/n) - 1)

    이므로, n→∞ 의 극한을 취하면

    (3) p(x) ≤ x

    입니다. 그런데, 임의의 두 실수 x, y에 대하여,

    p(x+y) ≤ p(x) + p(y) ≤ p(x) + y

    이고,

    p(x) = p(x+y - y) ≤ p(x+y) + p(-y) ≤ p(x+y) - y,
    ⇒ p(x) + y ≤ p(x+y)

    이므로,

    (4) p(x+y) = p(x) + y (x, y는 실수)

    임을 얻습니다. 따라서 x = 0 을 대입하고 y를 x로 이름을 바꿔주면 p(x) = p(0) + x 이고,

    p(0) = p(0+0) ≤ p(0) + p(0) ⇒ 0 ≤ p(0),
    p(0) ≤ e^0 - 1 = 0

    이므로, p(0) = 0입니다. 따라서

    (5) p(x) = x (x는 모든 실수)

    이고, 이로부터

    (6) f(x) = 1 + lnx

    임을 얻습니다.

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