올리는거 깜빡한거.
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y'(t)+a(t)y=f(t) 의 일반해 중
y(t)=y_1(t)+y_2(t)+... 에서
(y_1(t))'+a(t)y_1(t)=0 의 해는
0으로 수렴함이 확실하므로
y'(t)+a(t)y=f(t) 만 고려할 경우
int(a(t))=b(t) 라 하면
b(t)>ct>0 이며,
y(x)=(e^-(b(x)))int (f(t)e^(b(t))) from x to 0
이다.
이떄 y(t)가 a로 수렴하거나 발산하기 위해서는
(a+E)e^b(x)>int (f(t)e^(b(t))) from x to 0>(a-E)e^b(x)
가 모든 양수 E에 대해서 성립해야 한다.
이를 정리하면
E(e^b(x))>int((f(t)-a*b'(t))e^(b(t))) from x to 0> -E(e^b(x))
가 성립한다.
부등식을 x로 나누면
가운데는 (f(t)-a*b'(t))e^b(t)=int((f(t)-a*b'(t))e^(b(t))) from x to 0 /x 인 0
이를 정리하면
e^b(t) 는 양의 실수이므로 C라 하면
(E/C)*e^b(x)/x>f(t)-a*b'(t)>-(E/C)*e^b(x)/x
가 된다.
사잇값정리가
열린구간이므로 가능..
E가 한없이 작을 경우 위 조건을 만족하는 것은
f(t)가 t-> infinity 일 때 a=0 뿐이다.
고로 주어진 미분방정식의 y(t) 는 t가 한없이 커질 때 0으로 수렴한다
다른풀이 찾아보니까
Gronwall(?)'s theorem 인가 쓰던데
그냥 이렇게 해봤어여
0 XDK (+1,000)
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1,000
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흠 6
ㅠㅠ
갓....
정확한지는 몰겠어여
지난번에 어떤분이 올린 예제인데
구글링한 풀이 다 뭔 부등식으로 풀어서
제가 만들어본거라
공수에서 미방 풀 때 정말 자주 쓰는 아이디어입니다.
사잇값이요?
Grönwall's inequality
ㅇㅇㅇㅇ 이거 안쓰고 풀었는데
어떤가요??
그론월 부등식 풀이 찾아봤는데 그게 뭔소린지 모르겓음..
그거 바나흐 공간 이런데서 정의해서
미방 수업에서 다룰건 아닌듯? ㅋㅎㅋㅎㅋ
이 풀이는 어떤가요
음.. "y가 수렴한다면 그 값은 0이다" 라는건 증명이 되는데 발산하지 않는다는건 보이지 못하네요. 발상은 ㅅㅌㅊ인거 같습니다.
아 발산도 해드림 ㄱㄷ