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無雙 [954278] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2020-03-27 18:52:00
조회수 357

올리는거 깜빡한거.

게시글 주소: https://orbi.kr/00028863723

y'(t)+a(t)y=f(t) 의 일반해 중


y(t)=y_1(t)+y_2(t)+... 에서


(y_1(t))'+a(t)y_1(t)=0 의 해는


0으로 수렴함이 확실하므로


y'(t)+a(t)y=f(t) 만 고려할 경우


int(a(t))=b(t) 라 하면 


b(t)>ct>0 이며,


y(x)=(e^-(b(x)))int (f(t)e^(b(t))) from x to 0


이다.


이떄 y(t)가 a로 수렴하거나 발산하기 위해서는



(a+E)e^b(x)>int (f(t)e^(b(t))) from x to 0>(a-E)e^b(x)


가 모든 양수 E에 대해서 성립해야 한다. 


이를 정리하면


E(e^b(x))>int((f(t)-a*b'(t))e^(b(t))) from x to 0> -E(e^b(x))


가 성립한다.

부등식을 x로 나누면 


가운데는 (f(t)-a*b'(t))e^b(t)=int((f(t)-a*b'(t))e^(b(t))) from x to 0 /x 인 0


이를 정리하면 


e^b(t) 는 양의 실수이므로 C라 하면



(E/C)*e^b(x)/x>f(t)-a*b'(t)>-(E/C)*e^b(x)/x


가 된다. 


사잇값정리가 


열린구간이므로 가능..


E가 한없이 작을 경우 위 조건을 만족하는 것은 



f(t)가 t-> infinity 일 때 a=0 뿐이다.


고로 주어진 미분방정식의 y(t) 는 t가 한없이 커질 때 0으로 수렴한다


다른풀이 찾아보니까


Gronwall(?)'s theorem 인가 쓰던데


그냥 이렇게 해봤어여

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無雙 [954278]

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