[풀이연구] 2019-11월 고3 수능 수학 나형 30번
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[고민] 3차 방정식이 서로 다른 실근 2개를 가질 때의 그래프 개형의 경우의 수는?
--> f(x) - x = 0이 서로 다른 실근 2개를 갖는다는 것은
3차 함수 y=f(x)와 1차 함수 y = x의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나며
그 중 한 점에서는 접하고 있음을 의미합니다.
이것을 그래프로 나타내면 다음 두 가지 경우 중 하나일 것입니다.
(i)
(ii)
--> 조건 (나)에 의하면, 3차 방정식 f(x) + x = 0 도 서로 다른 실근 2개를 가지므로,
3차 함수 y=f(x)와 1차 함수 y = -x의 그래프도 서로 다른 두 점에서 만나면서
그 중 한 점에서는 접하고 있는 모양이어야 합니다.
이것을 위의 두 가지 그림과 결합시켜 생각해 보면, 아래와 같은 4가지 개형을
상상해 볼 수 있게 됩니다.
(i)-1.
직선 y = x와 y = -x는 모두 원점(0, 0)을 지나며, 문제의 힌트에서 f(0)=0이라
했기에 3차 함수 y=f(x) 또한 원점을 지납니다.
따라서, 세 함수가 공통으로 만나는 점이 바로 원점이므로, 위 그림은 일견
문제의 조건을 충족시키는 것으로 보입니다.
그러나, 문제의 힌트에서 f'(1)=1이라고 했는데, 위 그림의 f(x)에서 미분계수,
즉 접선의 기울기가 1인 점은 원점보다 왼쪽에 나타날 것으로 판단됩니다.
원점보다 오른쪽에서는 f'(x) > 1 인 것으로 보이므로 f'(1)=1을 충족시킬 수
없습니다.
(i)-2.
위 그림에서는 3차 함수 y=f(x)와 1차 함수 y = -x는 오직 한 점 (0, 0)에서만
만나고 있으므로, 조건 (나)를 충족시킬 수 없습니다.
(ii)-1.
위 그림에서는 3차 함수 y=f(x)와 1차 함수 y = -x는 오직 한 점 (0, 0)에서만
만나고 있으므로, 조건 (나)를 충족시킬 수 없습니다.
(ii)-2.
위 그림에서 세 함수 y=f(x), y=x, y=-x 가 원점(0, 0)에서 만나면서,
y=f(x)와 y=x는 서로 다른 두 점에서 만나고 있고(--> 조건 (가) ),
y=f(x)와 y=-x도 서로 다른 두 점에서 만나고 있습니다(--> 조건 (나)).
또한, f'(1)=1인 점 역시 원점보다 오른쪽에서 나타날 것으로 판단됩니다.
따라서, 문제의 모든 조건을 만족하는 유일한 가능성은, 네 가지 그림 중
바로 위의 이 그래프 개형이 되겠습니다.
이것을 좀더 자세히 나타내 보면 아래와 같습니다.
3차 함수 y=f(x)가 원점(0, 0)을 지나므로 f(x) = aX3+ bX2 + cX 이라 할 수 있습니다.
또한, y=f(x)는 원점에서 y=x와 접하고 있으므로 f'(0)=1입니다.
그리고, y=f(x)가 y=-x와 접하는 점의 x좌표를 α라 하면, 그 접점의 y좌표는 -α입니다.
따라서, f(α)=-α이며, f'(α)=-1입니다.
[해결]
f(x) = aX3+ bX2 + cX 라 하면
f'(x) = 3aX2 + 2bX + c
f'(1) = 1에서 3a + 2b + c = 1
f'(0) = 1에서 c = 1 --> 3a + 2b = 0 --> b = -(3/2)*a
f(α)=-α에서 aα3 + bα2 + cα = -α --> aα2 + bα = -2 -------- ①
f'(α)=-1에서 3aα2 + 2bα + c = -1 --> 3aα2 + 2bα = -2 ---- --- ②
①과 ②를 연립해서 풀면 a = 32/9 α = 3/4 b = -16/3
따라서, f(x) = (32/9)*X3 - (16/3)*X2 + X
문제에서 요구하는 f(3) = 51
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