수학 칼럼-1-> 구체적 행동영역을 넘어설 때의 힘

수능 수학은 전국에서 수십위권 안에 든다고 자부합니다.

성적이 그를 말해 주죠.

A 조건을 보면 A’ 이라는 경우를 생각해라.

B 조건이나 문장을 보면 B’ 이라는 행위(6칙연산 행위)를 해라.

이러한 방식으로 문제들에서 내용들을 뽑아내고, 유형별로 행동들을 정리하는 행위는 기존에 나오지 않은 아예 신유형의 경우에 대적하기가 어렵습니다.

나름 신유형이라 할 수 있는 문항 중에, 사람들에게 가장 큰 충격을 안겨 준 문항은 171130과 181121, 181130이 대표적이며, 아직까지도 회자되는 가장 어려운 평가원 문제들에 속합니다. 개념 훈련과 많은 연산 훈련이 되어 있으면 190621은 풀 수 있자만, 생각하는 힘이 부족했다면 위 문제들을 푸는 것은 힘든 것이 사실입니다.

그렇다면 어떻게 새로운 형태의 문제를 대해야 하는지에 대해 말하기 전에,

우선 181121을 함께 살펴보면서 기본적으로 제가 생각하기에 문제를 대할 때 어떻게 생각을 해야 하는지를 알아보도록 하겠습니다.

우선, 이 문제의 경우에, x=e 인 지점을 관찰하는 것이 중요함을 알 수 있습니다.

(아래부터는 문제를 푸신 분들은 생략하고 문제풀이 뒤의 설명부터 읽으셔도 무관합니다.)

모든 직선 g(x)가 x=e를 지날 때 값이 [1-t,1] 에 존재해야 하고, 이때 직선의 기울기가 최소가 되려면 g(e)의 값에 관계없이 g(1)의 값이 최대가 되어야 한다는 것에서, g(x)=m(x-1)꼴이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

근데, m=1-t 라고 할 경우 과연 교점이 하나뿐일지를 알 수는 이것만 가지고는 알 수 없습니다.

고로, 식을 바꾸어서

m(x-1)>=ln(x)-t 라고 접근을 해 봅시다.

이 경우, 함수 (ln(x)-t)/(x-1)을 조사해야 하고, 미분해서 조사해 보면, t가 양수일 때 

1-(1/x)-ln(x)+t=0 인 지점 중에 x가 e보다 크거나 같은 지점이 함수의 최댓값이 되어 조건을 만족하는 m의 값이 그 극댓값이 됨을 어렵지 않게 확인할 수 있습니다.

이때 원래 함수에 그 값을 넣으면 ln(x)-t=1-1/x 가 되어

m=1/x가 됩니다.

그러나 이 x가 e보다 작을 경우, 접점이 없어져 조건에 맞지 않고, 어렵지 않게 그때부터는 m=(1-t)/(e-1)가 됨을 알 수 있습니다.(구간 [e, infinity]에서 함수가 감소하므로) 

고로, h’(1/2e)=-1/(e-1) 이 됩니다.

다만, m=1/x=1/(e+2) 인 경우,

m’(t)=-1/(x-1)이 되어

(계산 생략)

m’(t)=-1/(e+1)이 됩니다.

따라서 구하는 답은 

1/(e^2-1)입니다.

일반적으로 사용하는 기울기로 슥슥 그려 푸는 풀이보다는 복잡하고, 실제로 저 또한 처음 문제를 풀 때에는 직선을 그려가며 문제를 풀었습니다.

하지만, 직선을 그려가면서 푼 사람들 중 확신을 가지고 문제를 5~10분, 또는 15분 내에 푼 사람들을 제외한 대부분의 사람들은 어째서 저 직선이 (1,0)을 지나야 최소가 되는지를, 그리고 궁극적으로는 왜 접선에서 특정 점을 지나는 직선으로 직선의 기울기가 바뀌는지를 논리적으로 설명할 수 없기 때문입니다.

그렇다면 이 문제의 논리의 핵심 축은 무엇일까요?

그것은 바로 다름아닌 “구간”입니다.

다음은 구간이라는 것을 활용한, 좀 더 컴팩트한 풀이입니다.

우선 직선은 [1, infinity] 전체 구간에서 잘 정의되어 있으며, 연속입니다. 고로, 조건을 만족하는 직선들은 점들 중 e에 대해서도 특정 값을 가질 것인데, 그 값에 관계없이 직선의 기울기가 최소가 되려면 우선 (1,0)을 지나야 합니다.

g(1)의 값이 최대가 될 때 g(e)의 값에 관계없이, 우선은 g(x)의 기울기가 최소가 되기 때문입니다.

이때, g(x)=m(x-1) 이 됩니다.

m(x-1)>=ln(x)-t 가 되는데,

(ln(x)-t)/(x-1)=k(x) 라 하면

을 만족하는 m은 k(x)의 최댓값이 될 것입니다.

이때 주의할 것이, k(x)는 x>=e인 모든 실수 x와 양수 t의 범위에서만 정의된 함수라는 것입니다.

k’(x)를 계산해 보면, 1-(1/x)-ln(x)+t=0 인 경우에 극값을 가지는데, x>=e 일때만 조건을 만족함을 알 수 있습니다.

1-(1/x)-ln(x)+t의 그래프를 그려 보면, t<=1/e 일 때 k(x)는 해당 구간에서 순감소함수가 되므로 최댓값은 k(e)=(1-t)/(e-1)=h(t) 가 됩니다.(t=<1/e)

이가 아닐 경우에는 당연히 1-(1/x)-ln(x)+t=0 인 경우가 조건을 만족하고, 이때 h’(t)=-1/(x-1) 임을 계산을 통해 확인이 가능합니다.

이전에 그래프를 그려서 풀었다면, “이렇게 정의된 함수는 언제든지 구간별로 바뀔 수 있다”,

“그래프 그릴 때 잘 그려 보자“, 정도의 행동영역을 뽑아내는 것이 다일 것입니다.

제가 이정도밖에 못 뽑아 냈는데, 더 뽑아내셨다면... 멀리서나마 사죄드립니다.

하지만, 이렇게 함수의 구간을 중심적으로 해석하여 존재성을 중심으로 문제를 푼다면, 

”구간 내에서 함수가 잘 정의되어 있는가“

라는 기본적인 아이디어만 가지고도 이렇게 문제를 푸는 것이 가능해집니다.

이렇게 저는, 다양한 문제를 접하고, 시간을 초과하고, 힘들 때마다 그 문제의 다양한 풀이를 생각하며 그로부터 생각할 수 있는 함수론의 가장 본질적인 것들에게서 아이디어를 얻을 방법을 생각했고, 그를 통해 

구체적인 행동영역이 아닌, 추상적인 ”지론“ 으로부터 거의 모든 새로운 발상들을 해 낼 방법을 찾게 되었습니다.

다음에는 제 자작문제와 사용이 허락된 사설 문제를 통해서 

이것의 힘과 구체적인 제 지론이 무엇인지를 알아보도록 하겠습니다.

읽어 주셔서 감사합니다.

無雙