26부탁) 수능 수학의 본질 (1)

이라는 제목으로 어그로를 끌고 글을 쓰겠습니다. ;;

일단 저는 20수능 수학 가형 100점이고, 정말로 많은 사설 모의고사를 풀었습니다.

친구랑 얘기하다가 칼럼을 쓰게 되었습니다.

물론 수능 수학의 본질은 문제를 풀어서 맞추는것이겠지만, 어느정도의 제 주관을 섞어서 수능수학 공부에 중요하다고 생각하는 부분을 써봤습니다.

칼럼을 잘 못쓰는 이과생이 썼다는 점, 제 주관으로 쓴글이라는 점, 칼럼을 쓰는데 무척 힘들었다는점들을 감안해서 읽어주시길 바랍니다.

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일단 먼저 지르고 가겠습니다.

수능수학의 본질은 결정된 조건으로 미결정된 조건/답을 찾는 과정입니다.

당연한거 아니냐고요?

(근데 문제에다가 왜 적용을 못하시나요 ㅠ)

일단, 모든 문제가 이렇게 풀린다는 것은 아닙니다.

문제에서 주어진 식들은 미결정(구하고자 하는 것)과 결정(조건), 두개로 나눌 수 있습니다. 

이 중에서 미결정의 정도를 100, 완벽히 알고 있는 것의 수준을 0이라고 두고 수직선으로 생각해봅시다.

문제에서 주어진 결정된 조건들은 0이나 그에 가까운 수들로 주어질겁니다.

그리고 저희가 구해야하는것은 100이나 그에 가까운 수로 주어지겠죠, 

문제를 풀기 위해서 구하고자하는 100을 어느정도 작게 만들 수 있도록 변형을 할 수 있겟죠.

(ex) 주어진 적분을 부분적분을 통해서 구할 수 있는 것을 바꾸기, 더햇다 뻇다 등등

하지만 100을 식변형으로 계속 끌고 와서 0으로 만드는 문제는 극소수에 불과합니다.

애초부터 어려운 초월함수나 삼차함수만이라도 넘어가는 다항함수는 역함수 구하기도 힘들고, 적절하게 식변형을 하지 못합니다.

그러니 어쩔수 없이 0에 해당하는 조건을 어느 정도 100에 가까운 방향으로 끌고 가야합니다.

그래서 문제에서 주어진 조건을 이용해서 0에서 60정도로 끌고, 문제에서 구하고자 하는 것 100을 변형해서 60으로 바꿔서 어느 정도 합의점을 찾는게 지금까지 저희가(적어도 2학년때의 저는) 풀던 방식입니다. 

(비유가 개같앗네요..)

그러니, 제가 제안하는 것은 

어차피 둘다 할꺼면 결정된것을 먼저 건드리는 것은 어떨까? 입니다.

(제가 이와 정확히 반대되는 내용의 칼럼을 나중에 한번 쓸껍니다. 문제에서 구하는것부터 조지는 것도 좋은 전략입니다.)

결정된 것이 미결정된 것에 비해 건드릴 방법이 많습니다. 

일단 예제에 대입해서 설명해보겠습니다. 

올해 수능 가형 7번입니다. 올해 되면 문과 범위에 들어가겠군요.

이런 쉬운 문제를 왜 설명하는거지? 라고 생각할수도 있습니다만,,,,

일단, 등식과 부등식이 둘다 있으면 등식이 결정되어 있는 것이고, 부등식이 덜 결정되어 있습니다.

등식을 먼저 봅시다. 

즉, cosx=1/2일 때와 cosx=-1/2 일 때 중에서 부등식을 만족하는 것을 구하는 것이 낫습니다.

물론, 이렇게 쉬운 문제의 경우 동시에 원을 생각해서 해도 됩니다.

(아 그리고, 참고로 칼럼을 떠나서 이 문제에 대해 얘기해보겠습니다.

이 문제 같은 경우에 sinx cosx을 sin2x/2으로 생각하면 범위 나누고 복잡해집니다. 

이런 경우에는 양변을 cos^2(x)로 나눠서 tanx<0으로 생각하면, 2, 4사분면이 된다는 것을 캐치 할 수 있습니다.)

다음 예제를 보면 

올해 수능 가형 10번입니다. 이것도 간단히 살펴보는 수준으로만 보겠습니다.

미결정된 것은 tan a이고, 결정된 것은 tan(a+b)입니다. 그러니, tan(a+b)부터 문제 보십시오.

특히, 이런 경우에는 이등변삼각형이라는 특수한 도형이 주어져있습니다. 

이등변삼각형의 세 각 중에서 두각이 주어져있으니, alpha와 beta에 대한 관계식을 세울 수 있겟군요.

또는 도형적 직관이 있으면, alpha+beta 가 beta의 외각이라는 사실을 알 수 있을 겁니다.

beta와 합이 pi이니 tan b=3/2이라는 사실을 바로 알수 있습니다.

그리고 마지막으로 tan 덧셈정리로 마무리하면 깔끔한 문제입니다.

개인적으로는 이 문제를 원에 내접하는 사각형처럼 내대각이나 외각, 원주각, 중심각 등을 좀만더 적극적으로 활용하는 문제로 냈으면 오답률이 엄청 높아졌을 것 같습니다.

다음 예제로 보면 

올해 수능 가형 15번입니다. 이 문제가 미결정과 결정을 구분해서 문제를 푸는 것이 눈에 띄게 이득이 들겁니다.

문제에서 점 A에 대한 조건이 

1. y=a^x 위의 점 (미결정)

2. 직선 y=sqrt3 위에 (결정)

3. 점 B(4, 0) 에 대해 OA와 AB가 수직이 되도록 하는 점 A (결정)

따라서 2, 3번 부터 먼저 보는 것이 이득입니다. 

2번은 위비유로 따지면 0입니다. 모든 것이 다 주어져있습니다. 

변형할것도 없고, 심심하면 그래프를 쭉 그리시면 됩니다.

3번은 기벡 어느 정도 하면 바로 눈에 보이는 조건이죠. OB가 지름인 원위에 점 A가 존재한다는 것이죠. 

그러니까, 점 A의 후보지는 2개로 결정되는 것입니다. 2번과 3번의 교점인 두 점 (1, sqrt(3)), (3, sqrt(3)) 입니다. 

이 두 점이 1번 조건을 만족한댑니다.

대입하시고 두개 곱하세여. 이게 어떻게 15번입니까? 4점치고 쉬운 문제들 많으니 4점에 쫄지 마세요.

마지막 예제입니다.

2019 수능 가형 16번입니다.

여기서 문제에서 구하고자 하는 적분은 먼저 건드려서 좋을 게 별로 없습니다.

물론 적분 구간이 1/2 부터 2까지이고, 위에 주어진 식에 x와 1/x이 주어져있으니, 이런 관계를 간단히 따지는 것은 좋습니다.

단지, 마지막 식을 윗식의 꼴로 바꿀려고 너무 노력하지 말라는 것입니다.

그냥, 문제에서 윗식을 어떻게 변형. 적분,미분 등을 할지 고민을 하시면 바로 풀릴겁니다.

1/2 부터 2 까지 적분하면 되겠죠 :)

(이 문제에 대해서 x 대신 1/x를 대입해서 함수 방정식을 푸는 풀이 등이 있는데, 우리 교육과정에 입각해서 문제를 풉시다. 문제를 풀 때 항상 교육과정에 해당되는지를 생각할 필요는 없지만, 굳이 제대로 배운 내용도 아닌데 학원이나 인강에서 어디선가 듣고 문제에 풀다가 큰코 다칩니다. 편미분 등도 같은 맥락입니다.)

이 정도로 이번 칼럼은 마무리 하겠습니다. 

여기까지 읽어주셔서 정말로 감사합니다.

모르는 수학 문제나 풀이가 궁금한 문제가 있으면 쪽지로 보내주시면 대답하도록 노력하겠습니다. :)

(칼럼 쓰는 거 힘드러유 ㅠ)