청의미)수학 개념 공부하실 때의 팁 정리
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안녕 여러분.
저는 청의미입니다. 본4 하고있습니다.
수험생 여러분, 몸 조심하셔요.
예방에는 기본적인 수칙이 가장 중요한 것입니다.
잘 지켜서 건강하게 공부하시길 바랍니다.
저는 거의 하루종일 글쓰면서 살고있습니다.
조만간도 그렇고, 계속해서 개념공부와 기본에 충실한 공부에 대해 전달할 생각입니다.
오늘은 개념공부를 할 때 시험범위 이전의 것에 대해서 어떻게 접근해야할 지 팁을 알려드리겠습니다.
아마 여러분께서는 시험범위 이전의 것도 어느정도 하셨을 거라 생각합니다.
하지만, 어느정도까지 해야할지 고민되신다면 다음과 같은 사항을 참고해보세요.
(0) 기본 원칙
기본적으로, 수학은 당연히 이전 개념을 다음 개념에 이용하는 방식으로 공부하셔야합니다.
이 사항은 당연합니다. 좀 더 설명을 하기 위해 이해라는 단어를 생각해봅시다.
이해라는 것은 사전적으로
1. 사리를 분별하여 해석함.
2. 깨달아 앎. 또는 잘 알아서 받아들임.
등의 뜻을 가지고 있습니다.
한번 다시 생각해보시면, 해석하는 것, 받아들이는 것 모두 자신의 배경지식, 경험에 의존한다는 것을 아실겁니다.
네이버 지식백과에 이해라는 단어를 검색해보시면, 미디어콘텐츠의 이해와 관련하여 다음과 같이 서술되어 있습니다.
[네이버 지식백과] 이해 (미디어콘텐츠의수용, 2014. 4. 15., 안은미)
즉, 이해라는 것은 경험에 의존하며, 배경지식에 의존합니다.
이 때문에 국어 문학지문을 감상할 때의 이해가 사람마다 다를 수 있으며
어떤 작품을 감상할 때, 사람마다 이해가 다를 수 있음을 아실 것입니다.
하지만, 문제는 수학입니다.
여러분이 이해하셔도, 이해하지 않으셔도 똑같이 함수 y=2x의 도함수를 구하면 2입니다.
즉, 여러분의 경험과 배경지식이 다른 것, 그리고 그 이해가 다른 것을 수학은 허용하지 않습니다.
그렇기 때문에, 수학에서는 이전 개념부터 시작해서 개념을 엮어가면서 정리해야합니다.
예를 들어, 2+3=5인 것은 어느정도 받아들일 수 있는 당연한 연산입니다.
이렇게 어느정도 받아들일 수 있는 것들을 기본으로 하여 그 다음 개념을 설명하는 것으로 공부가 진행되셔야합니다.
(1) 중학교 교과과정 공부할 때의 팁.
0) 적어도, 기본적인 개념은 알고 공부하셔야합니다.
최소한 알아야할 자연수의 사칙연산, 도형의 넓이 구하기, 분수의 사칙연산 등을 모른다면 초등 개념부터 해야합니다.
이 개념을 모른다면, 교과서를 구비하셔서 생각열기를 충분히 참고하며 이해하시길 바랍니다.
1) 중학교 교과과정은 크게 4개의 주제로 나눠지는데,
수체계/식과 함수/확률과 통계/기하학
으로 구성되어 있습니다.
이 때, 각 주제가 학년마다 1~2개 포함되도록 구성되어 있습니다.
당연히, 수험생 여러분이나 고등학생 여러분은 이러한 주제에 맞춰 정리하실 수 있어야합니다.
백지복습 하실 때, 각 주제를 쓰시고, 중1~3 교육과정에서 해당하는 부분을 쓰면서 정리하시는게 좋아보입니다.
또한 기본적으로, 교과서를 읽고 예제와 문제를 푸는 정도만 해도 괜찮아보입니다.
특별한 경우가 아니라면 중학수학을 문제집을 사서 풀지는 않아도 될 것 같습니다.
2) 특히 중학교 1학년 과정에서 개념에 대한 정의가 꽤 많이 나옵니다.
왜 이렇게 정의했을지, 왜 이런 이름인지 간략하게 생각하는 것은 좋습니다.
다만, 정의는 그대로 받아들이시는게 좋습니다.
또한, 식과 함수 주제에서 식의 계산 부분은 충분히 강조해도 부족함이 없습니다.
식을 쓰는 방법, 곱셈공식과 인수분해는 나중에도 기본이 되는 개념입니다.
만약, 이것이 부족하다면 특별히 문제집을 추가하셔도 괜찮습니다.
3) 기하학 주제를 공부하실 때, 증명파트가 있을 것입니다.
제발 이 파트 공부하실 때는 기존 개념을 이용해서 증명한다는 느낌을 느끼면서 공부하십시오.
다양한 증명방법보다는 기존 개념을 확실하게 이용한다고 마음먹고 증명을 스스로 해보셔야합니다.
특히, 중학교 2학년 때의 [무게중심이 중선을 2:1로 내분함을 증명하여라.] 는
반드시 무게중심의 정의와, 닮음의 정의, 평행선의 성질을 활용하셔야한다고 봅니다.
이 내용은 닮음의 활용 파트에 있습니다. 너무 당연하게도 닮음 사용하셔서 증명하시는게 옳습니다.
4) 이과면 기하학 주제의 중학교 개념을 반드시 처음부터 끝까지 공부하셔야합니다.
극한단원에서 반드시 나오는 개념입니다. 반드시 모든 증명을 스스로 하실 수 있어야합니다.
대충 넘어가시면 안되십니다. 교과서에 나오는 모든 증명을 스스로 백지에 쓰실 수 있어야합니다.
(2) 시험범위 이전 고등학교 교과과정 공부할 때의 팁.
1) 이과라면 수학 2 제낀다는 생각 하지마십시오.
이과 시험범위는 수학 1, 수학 2, 미적분, 확률과 통계로 생각하시는게 낫습니다.
절대 제끼시면 안됩니다. 시험범위로 생각하고 공부하시는게 좋을 것입니다.
2) 수학 1 이전의 개념과 수학 2의 개념은 굉장히 큰 차이점이 있습니다.
그동안 함수를 어떻게 그려왔는지 생각해보면 바로 아실 수 있을 것입니다.
수학 1까지의 개념을 공부할 때는 각 개념이 어떠한 의미를 가지는지를 이해하시면 충분합니다.
그러나, 수학 2에서의 개념은 꽤 많이 이어져있습니다.
이 개념을 공부할 때는 충분히 많은 의문을 가질 필요가 있습니다.
예를 들어, 제가 이 단원을 공부할 때는
왜 0/0은 존재하지 않는데 x→0일 때 x/x는 존재하는 걸까?
왜 한 점에서 선을 긋는 것이 힘든데 접선은 미분계수의 정의로 구할 수 있을까?
등등의 질문들을 엄청 많이 했었던 것 같습니다.
그리고 수학 2에서는 그 질문들이 꽤 많이 연결되고 이어지는 점이 있습니다.
3) 고등 수학 (상)
- 고등 수학 (상)에서는 인수정리를 이용한 인수분해 과정이 나옵니다. 조립제법과 나눗셈의 차이와 상수항의 정수 약수를 후보군으로 설정하여 대입하는 것의 이유를 충분히 이해하셔야합니다.
- 허수를 처음 정의하게 되는데, 허수와 실수의 차이점과 허수의 필요성에 대해서 설명하실 수 있어야합니다.
- 이차함수와 직선의 위치관계에서 왜 두 그래프가 만날 때 실근이라 하는지, 만나지 않을 때 허근이라 하는지 설명하실 수 있어야합니다.
- (실수)^2≥0입니다. 이로 인해 이차함수의 최대, 최소를 구할 수 있는 점을 이해하셔야 합니다. 또한 나중에도 최대최소를 구할 때 이용됨을 이해하셔야합니다.
- 절댓값 기호를 포함한 식을 어떻게 다루는지에 대해 감을 익히셔야합니다.
- 직선의 방정식과 원의 방정식을 공부할 때, 어떻게 언어가 수식으로, 그래프로 변하게 되는지 이해하셔야합니다.
- 개인적으로는 점과 직선사이의 거리를 증명하는 것보다는 외우고 활용하는 것이 나아보입니다. 제가 느끼기로는 무게중심 증명과 비슷한 수준으로 기존개념과의 연결성이 보이진 않았습니다.
- x축으로 a만큼 평행이동 할 때 점의 좌표는 (x+a,y)가 되는데 그래프는 y=f(x-a)가 되는 이유를 설명하셔야합니다.
- 대칭이동에 대한 이미지를 간단하게 떠올리셔야합니다.
4) 고등 수학 (하)
- 함수를 정의하기 위해 먼저 집합을 배우게 됩니다. 집합에서는 특히 집합을 정의하는 기준에 대해 고민하셔야합니다.
명확한 기준으로 대상을 분명하게 정할 수 있을 때 그 모임을 집합이라 하므로, 벤다이어그램의 해석과 더불어 말로도 해석해보시면 좋습니다. 예를 들어 A⊂B는 A의 기준은 B의 기준을 포함하고 있다는 뜻으로 해석할 수 있으며 A∩B는 A의 기준과 B의 기준을 동시에 만족하는 모임으로 해석해보시면 벤다이어그램이 아닌 말로도 집합을 해석할 수 있습니다.
- 명제는 이후에 논리학으로 이어지는 것 같습니다. 즉, 명제단원을 공부할 때는 어느정도 그 정의를 알고가는 느낌으로 공부하셔도 좋습니다. 단, 귀류법을 어떨 때 쓰는지, 대우를 이용한 증명법을 잘 쓸 수 있는지, 절대부등식에서 산술기하 평균, 혹은 코시-슈바르츠 부등식이 (실수)^2≥0을 이용해서 증명할 수 있음을 이해했는지를 점검해보시길 바랍니다.
- 함수의 정의, 합성함수와 역함수의 정의를 꼼꼼하게 보셔야합니다. 또한 일대일 함수와 일대일 대응이 어떤차이가 있는지도 생각해보시면 좋습니다.
- 유리함수와 무리함수가 왜 함수 뒤에 처음 나오는 단원일지 생각해보셔야합니다. 또한 그래프를 그릴 수 있어야하는데, 유리함수 그릴 때 어떻게 그릴지 생각해보면서 그립시다.
- 분모의 유리화 어떻게 하는건지, 왜 하는건지 제대로 이해하셔야합니다.
- 경우의 수 단원은 나중에 확률과 통계 공부하면서도 다시 돌아와야하는 단원임을 이해하셔야합니다.
특히 확률과 통계 킬러에서 가장 어려운 점은 합의 법칙과 곱의 법칙입니다. 엄청 기본이 되는 단원이지만 그만큼 활용하는데 어려운 부분이 있습니다.
(3) 시험범위의 고등수학 공부할 때 팁.
1) 문과생, 이과생 구분없이 가장 중요한 파트를 저는 수학 2를 꼽겠습니다.
이전까지의 개념과 어떤 점에서 다른지, 어떤 목적으로 쓰여져있는지 정확하게 확인하셔야합니다.
2) 기본적으로 교과서의 활용법은, [생각열기에서 질문-본문에서 해결-예제풀이의 이유파악-목차로 정리]의 순서대로 공부하시면 충분합니다. 추가로 교과서의 문제를 풀어도 좋습니다.
3) 수학 2, 미적분을 공부할 때 증명은 빼놓지 마세요.
도함수를 유도하여 증명하는 것, 미분법을 증명하는 것 등의 연습을 많이 해보시는게 좋습니다.
이러한 경험이 분명 유용하게 쓰일 때가 있을겁니다.
4) 이과생의 경우, 미적분을 공부하고 나면 이제부터는 거의 모든 그래프를 그릴 수 있다는 자신감을 가져도 됩니다.
물론 못그리는 그래프도 있습니다. 교과서 개념을 적용할 수 없는 케이스라면 못그릴 것입니다. 빠르게 판단하세요.
이러한 특이케이스를 제외하면, 식이 주어져있는 함수라면 그래프 그리는 것을 두려워하지 않아도 됩니다.
5) 확률과 통계의 핵심은 합의 법칙과 곱의 법칙, 확률의 덧셈정리와 곱셈점리, 확률변수 X의 정의, 정규분포 그래프의 이해를 꼽을 수 있습니다. 제대로 개념을 이해하시고, 어떻게 문제에서 개념을 적용할 수 있을지를 기출문제와 여러 문제로 훈련하시면 충분한 실력향상을 기대할 수 있을 것 같습니다.
+) 추가로, 제 개인적인 의견으로는, 교과서는 충분히 좋습니다만 교육과정은 비판의 여지가 있다고봅니다.
- 피타고라스의 정리를 공부할 때, 실수 범위에서 활용할 수 있어야합니다.
- 미적분에서 정적분을 구분구적법으로 정의한 후, 적분과 미분의 관계를 이해하셔야 합니다. 정적분은 넓이의 의미를 담습니다.
- 확률과통계에서 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열과 조합은 고등 수학 (하)를 다시 공부해야합니다.
글 쓰다보니 수학 2 찬양글이 되어버렸는데...
추가로 더 적어보면, 이전의 교육과정에서는 수학 2와 미적분 1에서 개념의 차이가 발생했고,
미적분 2와 기하와 벡터에서도 개념의 차이가 발생했으므로 그것을 구별해줘야할 필요성이 있었습니다.
이번 교육과정에서는 기하와 벡터 과정이 빠졌으므로, 수학 2에서 어떻게 바뀌는지를 강조할 수 밖에 없지요.
나머지는 책 나오면 책 참고해.
농담이구요.
제 개인적으로 개념공부의 가이드를 적어보았습니다.
혹시라도 본인만의 계획이 있다면, 참고만 하셔도 됩니다.
혹시 개념공부를 어떤 수준으로 해야할지 의문이었다면 한번 위와 같이 진행해보기를 권합니다.
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ㄱㅅ요. 건강 조심하십셔!쪽지 답변 드리겠습니다. 잠시만요
잘 읽었습니다! 좋은 글 감사드려요그동안 증명을 좀 소홀히 하고 넘어갔는데, 지금이라도 교과서 펴서 제대로 여러번 증명연습 해봐야할 것 같아요
특히 도형쪽 증명 충분히 하시고,
시험범위에서는 증명 철저히 공부하시면 될 것 같습니다!
구구절절 맞는말이네요!
ㅋㅋㅋㅋㅋ
저는 봤습니다만..
헣허... 쉿
감사합니다
그건 좀 아닌것같습니다.
많이들 오해하시는게, 개념요약을 보려고 교과서가 있는게 아닙니다.
교과서 보면 노란 테두리에 개념 정리된 것이 있을텐데, 그런거 보라고 교과서가 있는것이 아니에요.
교과서 개념은 그 테두리 전의 서술내용에 있습니다. 또한 생각열기와 예제풀이에 있지요.
요약된 것으로는 불충분합니다.
올해 재수하는 재수생이에양
지금은 강대 다니고 있어요
수2를 엄청 중요하다 하셨는데, 저 같은 경우는 쎈 정도만 풀고 나머진 재종+호형훈제 수1 미적 확통 들을 생각이었거든요.
여기에 호형훈제 수2 인강까지 들어야 하나요?
재수생이시면 아마 제 이야기에 어느정도 공감하실거라 생각합니다.
수학 2의 경우 이전에는 미적분 1이었습니다.
작년에 미적분 1 하셨던 만큼 강조해주시면 될 것 같습니다.
미분계수 처음 정의하는 방법, 도함수로 그래프를 그리는 방법
이런것들 처음 배우신게 미적분 1이시잖아요. 그거 공부하시면 될 것 같습니다.
저는 인강에 대해서는 아얘 모르기때문에 평을 해드릴 수가 없을 것 같습니다.
작년에 미적분 1 했던 대로만 하면 되나요?
뭐 대략적으로 교과서 보시면 이런 질문에 대한 답변은 쉬울것이라..
왜 분모의 최고차항으로 나누어 극한값을 계산해야하는가?
왜 분모가 0으로 수렴할 때 극한값이 존재하면 분자도 0으로 수렴하는가?
왜 연속함수끼리의 합, 차, 곱도 연속인가?
왜 한 점에서의 접선을 그을 수 있는가?
왜 첨점에서는 미분 불가능하다고 하는가?
접선의 방정식을 구하는 기본원리는 무엇인가?
도함수를 활용하여 그래프 그리는 원칙은 무엇인가?
방정식의 해를 구할 때 어떻게 구하는가? 그 이유는 합리적인가?
기존의 그래프 그리는 방법과 미적분에서의 그래프 그리는 방법의 차이점은 무엇인가?
이런 질문들만 해결하면 되실거에요.
아마 수열의 극한 빠져서 적분의 경우는 그냥 부정적분만 배우면 돼서..
적분은 미적분 하면서 공부하시는게 더 편하실듯요.
감사합니당 ㅎㅎ
처음 개념 공부를 할 때, 교과서와 인강을 병행하면서 나갈려고 하는데 어떤식으로 나가면 좋을까요?
제가 인강에 대해서 아는바가 없습니다.
그러므로 인강을 양질의 교사의 교과서수업으로 생각해보겠습니다.
일반적으로 교과서 수업 전에 목차와 생각열기등을 통해 질문을 만들고 수업시간에 그 질문을 해소하는 방식으로
그 후에 예제풀이와 문제풀이로 복습을 하는 방식으로 공부는 이루어집니다.
인강이라 질문을 즉각적으로 할 수는 없는 상황이시겠지만 최대한 자문자답 하시는 편이 좋을 것 같습니다.
교과서의 목차나 생각열기를 통해 향후 개념 학습의 방향성을 잡아가면서 공부해야겠네요. 사실 조급한 마음에 교과서를 등한시하고 빠르게 개념을 나갈려고 했지만, 청의미님 칼럼들 정독 후 생각이 바뀌었습니다. 감사합니다.
ㅎㅇㅌㅎㅇㅌ
요즘 질병창궐하던데 몸조심하고 열공하셔요!
감사합니다 ㅎㅎ 아참 그리고 교재 출판하시는 걸로 알고 있는데 출판 예정이 언제 쯤 인가요?
미적분은 원고 넘기고 최종검토 들어가고있습니다.
중학교 개념은 어느 책으로 정리할까요??
교과서요.
중학교 교과서 사러가야겠네요 ㅠㅠ
제가 사실 중학교 개념을 정리할때 남은 교과서로 정리해서..
사실 이건 어떤 책이 있는지 몰라서 그런거구요.
적어도 위의 중학개념 정리방법으로 정리할 수 있고,
기하에서 모든 증명 가능하면 정리 끝난거라 봅니다.
글 잘읽었습니다 많은 도움 되었어요 ㅎㅎ 그런데 혹시 고등수학 상,하를 공부할때 쎈같은 문제집을 필수적으로 풀어야하는지, 아니면 글에 올려주신 내용들을 설명할 수 있을 정도로만 익히면 되는지 궁금합니다..!!
제가 생각하기로는, 식과 함수 주제는 세분화하면, 식의 연산, 방정식, 부등식, 함수로 세분화할 수 있습니다.
특히, 식의 연산 부분, 즉, 곱셈공식, 인수분해, 다항식의 사칙연산 등이 부족하시다면 무조건 필수적으로 하셔야됩니다. 이게 약하면 답이 없어요.
이외에는 필수적까지는 아닐 것 같습니다. 교과서 예제와 문제를 모두 풀어낼 수 있으시다면 충분할 것 같습니다.
앗 혹시 질문 하나만 더드려도 될까요? ㅜㅜ 수학 개념을(직접범위요!) 글에 올려주신대로 학습하면서 쎈이나 RPM같은 문제집을 같이푸는게 좋나요 기출과 병행하는게 좋나요..?! 아니면 개념을 전부 공부한 후에 문제를 풀어야하는건가요??
기본적으로 직접범위의 경우에는 단원별로 개념을 학습하면서 기출과 병행하는 것이 좋습니다.
그 과정에서 문제가 생긴다면, 문제집을 추가할 수도 있겠죠?
교과서-기출이 기본이라 생각하시면 됩니다.
그 과정에서 교과서 해석이 안되면 개념서를 추가하거나 강의를 추가하시고
교과서와 기출의 연결이 잘 안되시면 문제집을 추가하시면 되는것이며
기출은 확실하게 되어있는데 불안하다 싶으시면 N제 실모를 추가하시면 되실겁니다.
무엇이 부족한지 확인하신 후 본인에게 맞는 것을 찾아보세요.
좋아요 박고 감
감사함
교과서에 그러한 증명들이 적혀있습니다.
좋은 글 잘 읽었습니다. 수학 공부의 가이드라인이 되는 느낌입니다. 감사합니다~
감사합니다.
현역 이과 수시러인데요 맞춰야할 최저가 높아서 수능공부도 계속 하고있습니다 저는 수2를 제대로 마무리 짓지 않고 미적분 선행만 했었는데요... 미적분 정석에 간간히 개념 초반에 초월함수 다루기 전 다항함수를 다루는데 그걸로라도 수2개념을 잡는겸 해서 확실히 하고 가면 되겠죠ㅠㅠ..? 수2를 제대로 보지 않은게 후회가 됩니다
애초에 수학 2의 개념은, 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수의 정의, 그래프 그리기에 대한 개념을 담고있습니다. 전체적으로 보시는게 맞습니다.