고난이도 문제 (1e)
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정답
2번 대충 증명은 하겠는데... 아 정리가 안되네요ㅋㅋ 아침에 일어나서 노트에다 써봐야겠어요;;
1번답 127 맞나요?
1번. 자연수를 자연수로 보내는 함수 P에 대하여, P*를 다음과 같이 정의합니다: 임의의 수열 a(n)에 대해,
P*a(n) := a(P(n)).
그러면 (PQ)* = Q*P* 가 성립합니다. 이제 P(n) = 2n, Q(n) = 2n+1 이라고 합시다. 그러면
P*f(n) = f(n),
Q*f(n) = f(n)+1
이 성립하며,
Q*P*a(n) = a(4n+2)
P*Q*a(n) = a(4n+1)
이 성립합니다. 즉, argument를 작게 만들기 위해서는 P*를 나중에 적용해주어야 한다는 뜻입니다. 이 일련의 관찰로부터,
(Q*^6)f(1) = f(1)+6 에 대응되는 Q^6(1) = Q^5(3) = Q^4(7) = Q^3(15) = Q^2(31) = Q(63) = 127 이 f(n) = 7 의 가장 작은 해이며,
P*(Q*^6)f(1) = f(1)+6 에 대응되는 Q^6P(1) = Q^6(2) = Q^5(5) = Q^4(11) = Q^3(23) = Q^2(47) = Q(95) = 191 이 f(n) = 7 의 두 번째로 작은 해이며,
Q*P*(Q*^5)f(1) = f(1)+6 에 대응되는 Q^5PQ(1) = Q^5P(3) = Q^5(6) = Q^4(13) = Q^3(27) = Q^2(55) = Q(111) = 223 이 f(n) = 7 의 세 번째로 작은 해입니다.
2번. m(n) = n - [√n] 은 n까지의 자연수 중에서 제곱수의 개수를 뺀 것입니다. 따라서 m(n)은 a(k) ≤ n 을 만족시키는 k의 개수, 혹은 a(k)가 순증가하므로 a(k) ≤ n 을 만족시키는 가장 큰 k를 나타냅니다. 반대로, 주어진 k에 대하여 a(k) ≤ n < a(k+1) 이라면 m(n)의 값은 항상 k로 주어집니다. 따라서 우리는 a(k)를 다음과 같이 정의할 수 있습니다:
a(k) := "m(n) = k 를 만족시키는 가장 작은 n의 값."
여기서, m(n) = k 가 성립한다고 가정하고 경우를 나누어봅시다.
(1) 만약 n이 제곱수가 아니라면, [√n] = [√(n-1)] 이므로 m(n) = m(n-1)+1 입니다. 또한 -[√n] > -√n > -[√n]-1 = -[√(n-1)]-1 이므로, 이로부터 k > n - √n > k -1 임을 얻습니다.
(2) 한편 n이 제곱수라면, m(n) = m(n-1) 이며, k = n - √n 임을 알 수 있습니다.
따라서 우리는 위의 관찰로부터
a(k) := "n - √n < k 를 만족시키는 가장 큰 n의 값."
으로 재정의할 수 있습니다. 그런데 x - √x = k 의 양수해를 구해서 x에 대해 정리해보면
x = k + √((4k+1)/4) + 1/2
입니다. 여기서 만약 4k+1 이 제곱수라면, 이 수는 어떤 홀수의 제곱이므로, x 자신이 정수가 됩니다. 따라서 이 경우 a(k) = x - 1 = [k + √k + 1/2] 압니다. 그리고 만약 4k+1 이 제곱수가 아니라면, 역시 당연하게 a(k) = x - 1 = [k + √k + 1/2] 가 따라나옵니다. 따라서 원하는 바가 증명되었습니다.
정답
밑에껀 제가 근의공식쓰니깐 풀리긴한데 계산이.... 간단한 방법이 있을텐데......
군수열쓰면 되는군요
땡
쓰몀 됨 풀이가 한가지만 있는건 아닌듯....
1번 508?
ㅠ.ㅠ.. 아쉽게도
2번은 sos님 말고는 못푸실듯 하니
조만간, 별도로 풀이를 만들어 올리겠습니다.
2번 오늘 아침에 풀긴 했는데 이쁜 풀이가 아니라서ㅠㅠ
별도로 올라오는 풀이 봐야겠어요ㅋㅋ
2번 f(n)=n+[√n+1/2] 로 두면 n^2 n^2 +1/4 ≤ m < n^2 + 2n + 1/4 이므로
n^2 < m < (n+1)^2 과 동치. qed
1번: 2진법으로 생각해보면 2n은 n의 끝에 0을 붙이고 2n+1은 n의 끝에 1을 추가한 수.
따라서 1111111(2)이 가장 작고 10111111(2)이 두번째로 작고 11011111(2)이 세번쨰로 작은수.
환상적인 풀이군요 -ㅅ-b
허허허....ㅡㅡ
발상이 대단하네요