허수 관련 질문입니다
게시글 주소: https://orbi.kr/00027032821
1)복수수에 대해서 강의를 듣다가 문득 궁금한 점이 생겨서 질문드립니다.
a+bi(a,b는 0이 아님)이 허수라는 사실이 잘 와닿지가 않아서요.
제가 생각하기에는 a랑 bi를 따로 각각 실수와 순허수로 봐야 한다고 생각해요.
그래서 제가 이걸 이해하고자 무리수로 돌아가서 a+b루트m을 생각해보았습니다.
무리수는 '루트m' 이 부분을 무한소수로 변환해서 생각하니 'a+b루트m'이 무리수라는 것이 와닿더군요.
그래서 바로 허수를 생각해봤죠. 그런데 허수는 저 방법으로 생각을 해봐도 모르겠더군요
i를 루트-1로 바꿔서 생각을 해봐도 잘모르겠더라고요.
그래서 또 다른 방법을 생각해봤습니다. 실수가 아니라면 무조건 허수일 수 밖에 없으니까
a+bi의 제곱이 0보다 작다면 허수이겠구나라고 생각하고 제곱을 해보아도 또 a+bi 꼴과 같은 식이 나오고 맙니다. 그래서 이번에는 허수의 성질을 이용해봤어요. 허수는 대소비교가 불가능하니까 a+bi가 대소비교가 불가능 하다면 허수이겠다고 생각했습니다. 그런데 이것도 잘 와닿지가 않습니다.
혹시 이유를 알려주실 수 있으신가요?
2)이렇게 현우진 선생님 qna에 질문을 드렸더니 조교님께서 허수와 사칙연산으로 연결되있기 때문에 그 자체가 허수라고 하시는데,
그렇다면 '허수+실수=허수' 인가요?
두 질문 모두 답변해주시면 감사하겠습니다.
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실수가 아닌 복소수는 모두 허수입니다. 개념 정의에 혼동이 있으신거같네요
a+bi의 제곱이 0보다 작다면 허수이겠구나
-> 이부분도 아니에요.
왜 아닌가요?
허수의 정의가 그게 아니니까요..
제곱했을때 음수가 나오는것이 허수가 아닌가요?
제곱했을때 음수가 나오는 복소수는 허수가 맞는데 그 역은 성립하지 않아요.
흠... 왜 그런지 모르겠네요
잠시만요, a+bi의 제곱이 0보다 작다면 허수인것이 그럼 맞는거 아닌가요??
네 맞아요.. 그 역이 성립안하는거고요
근데 위에서
a+bi의 제곱이 0보다 작다면 허수이겠구나
-> 이부분도 아니에요.
라고 하셔서 질문드렸습니다
그 뒤 논리 전개가 이상하잖아요.
제곱해서 음수이면 허수이다.(참)
어떤 복소수를 제곱했더니 음수가 아니다.
그러므로 그 복소수는 허수가 아니다. -> ???
그러네요 암튼 감사해요
허수+실수=허수 이건 맞아요
a,b가 모두 0이 아닌 실수일때 a+bi가 허수인건 이해되셨나요?
네 이해가 됬어요. 말씀하신대로 복소수중에 실수(b=0)가 아닌 것은 모두 허수니까요
네 그럼 본문에 쓰신대로 a+bi를 제곱했을때 항상 0보다 작은게 아니잖아요. a가 0이 아니라면 여전히 허수가 되겠죠.
머리가 복잡해서인지 잘 이해가 안되네요..
a+bi(a,b가 0이 아닌 실수일 때) 허수인 것은 이해가 이미 됬는데, 제곱했을때 항상 0보다 작지 않은 이유가, 아까 말씀하신 '곱했을때 음수가 나오는 복소수는 허수가 맞는데 그 역은 성립하지 않아요.' 때문인가요?
제곱했을때 항상 0보다 작지 않은 이유는 0보다 작지 않은 복소수가 나오는 반례가 존재하기 때문입니다.
혹시 반례를 들어주실 수 있으신가요..
1+i를 제곱해보세요.
2i가 0보다 작지 않다는 걸 어떻게 알죠?
허수의 대소 비교는 불가능 하다고 배웠습니다
불가능하니까 작지 않은거죠. 2i는 0보다 작지도 않고 크지도 않고 같지도 않습니다.
곱했을때 음수가 나오는 복소수는 허수가 맞는데 그 역은 성립하지 않는다고 하셨습니다.
그렇다면 실수도 마찬가지 인가요?
제곱했을 때 0보다 크거나 같다고 해서 실수라는것도 틀린 명제인지요..
그건 참인 명제입니다
그렇군요
긴 시간 내주셔서 감사합니다.
네 열공하십쇼
왜 '허수를 제곱하면 음수이다'라고 생각하시는지 모르겠네요.
a+bi를 제곱했을때 대소비교를 할 수 없는 점을 간과해서 그렇게 생각한 것 같아요.
순허수만 생각했네요 ㅠㅠ