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김마담 [371669] · MS 2017 · 쪽지

2019-11-02 21:47:37
조회수 2,278

수완 (나)형 문항 오류에 대하여.

게시글 주소: https://orbi.kr/00025185050

수완 나형 120페이지 10번 문항입니다.



6월달에 이의 제기를 했었고 한 달이나 넘게 기다린 결과 파기가 됐던 문항입니다.


보통 수학적 확률을 계산할 때에 근원사건이 같은 정도로 기대되도록 만드는 것이 상당히 중요하다고 알고들 계실 겁니다. 하지만 수험생들이 그것을 구별해내기가 힘들기 때문에 강사들은 그냥 다른 것으로 보고 풀라고 알려줍니다.


왜냐? 그게 안전하거든요. 수학을 어느정도 하시는 분들은 같은 것을 포함한 순열으로 전사건의 경우를 세더라도 그 각각의 근원사건이 같은 정도로 기대되는지 아닌지 충분히 구별할 수 있고 따라서 자유롭게 풀 수 있습니다.


위의 문항은 근원사건이 동등하게 기대되지 않도록 잘못 푼 EBS문항입니다. 한 번 풀어보세요 ㅎㅎ


그 당시 이의제기했던 내용 전문을 붙여넣겠습니다. 읽는 것은 본인의 자유.





이의제기 전문.


부분집합 중 중복을 허락하여 두 개의 집합을 뽑을 때에 32H2를 활용하면 같은 두 집합이 뽑힐 때와 서로 다른 두 집합이 뽑힐 때의 근원사건의 기대치가 서로 달라집니다. 이 때문에 근원사건이 같은 정도로 기대되도록 하기 위해서 일반적으로 중복 조합이 표본공간 내의 모든 근원사건의 개수를 세는 도구로 활용되지 않습니다.

실제로 근원사건의 기대치에 대한 것이 직관적으로 와 닿지 않기에 이 문항에 대한 올바른 접근과 관련 예시를 첨언하도록 하겠습니다.


문항에서 중복을 허락하여 집합 두 개를 뽑으라고 하였는데 편의상 뽑을 집합 두 개에 서로 다른 이름을 붙여 집합 P와 집합 Q라고 하겠습니다. 그럼 전사건의 수는 집합 P와 집합 Q 각각이 32개의 집합 중 하나를 선택하는 것이므로 32x32가 됩니다. 이에 동의하시는지요. 


그리고 발문에서 요구하는 사건의 근원사건의 개수를 구하겠습니다. 벤다이어그램에 P가 Q의 부분집합인 상황을 그려 1, 2, 3, 4, 5 각 원소를 뿌리면 3의 5승임을 쉽게 알 수 있습니다. 여기에 2를 곱하면 Q가 P의 부분집합인 상황까지 고려됩니다. 하지만 P와 Q가 동일한 집합인 경우가 중복되므로 그 경우를 빼주면 됩니다. P와 Q가 동일한 집합인 경우는 공집합일 때, 원소의 개수가 1개일 때 ... 원소의 개수가 5개일 때로 분류하여 세면 5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 실제 정답은

2x3^5-32를 32의 제곱으로 나눈 값이 됩니다.


유명한 예시를 하나 들겠습니다. 

같은 사탕 10개를 A, B, C 세 사람에게 임의로 나누어줄 때 C가 5개의 사탕을 받았을 확률은? (단, 나누어 주고 남은 사탕은 없다.)


이 문제가 유명한 이유가 대부분이 전사건의 경우를 3H10으로 세기 때문입니다 그러면 11분의 1이라는 오답이 나오게 되지요. 하지만 A B C가 10개 0개 0개 받는 경우와 9개 1개 0개 받는 경우는 실제로 근원사건이 같은 정도로 기대되지 않습니다. 정확하게 후자가 전자의 10배정도 더 발생할 것으로 기대됩니다. 

따라서 이 문항의 올바른 풀이는 10C5 x 2^5을 3^10으로 나눈 값이 됩니다.


만약에 방금 든 예시의 문항이 사탕 10개를 임의로 뿌렸을 때 나타날 수 있는 결과, 즉 10, 0, 0/ 9, 1, 0/ ...의 총 3H10가지의 결과 중에서 어떤 결과한 가지를 뽑았을 때 ?, ?, 5의 결과가 뽑혔을 확률을 물어봤다면 1/11이 정답이 맞습니다. 하지만 사탕 10개를 임의로뿌리는 상황과는 전혀 다른 상황입니다.


이미 수학적으로 충분히 유명한 소재의 내용이고 전공자들도 쉽게 직관의 오류에 빠질 수 있는 내용이지만 현명하시고 지혜로우신 EBS 수학과 팀 분들께서는 쉽게 이해하시어 문항의 해설이 정정되거나 문항 자체를 파기해주실 것이라고 믿습니다.


재작년 수능특강 확률과 통계 교재에서도 제가원순열에 대하여 지적하였는데 평가원의 검수를 거쳤다는 답변 등을 주시면서쉽게 인정해주시지 않아 몇번의 주고 받음 끝에 오류를 인정하시어두 문항이 파기된것을 기억하고 있습니다. 충분히 이의제기 내용에 대하여 생각해주시기 바랍니다.

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