Massachusetts [808741] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2019-08-20 14:00:50
조회수 1,847

사이값 정리, 평균값 정리 질문

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문제의 조건이 이럴때, f'(k)=0 인 실수 k가 (-1,1)에 적어도 한 개 존재한다.

이게 맞는 말인가요?

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  • 존예르비를 보면 울리는 종 · 866109 · 19/08/20 14:02 · MS 2018

    네 맞죠

  • Amas Vin · 761141 · 19/08/20 14:02 · MS 2017


    미분가능한 함수잖아요

  • Amas Vin · 761141 · 19/08/20 14:06 · MS 2017

    그래프 그리면 한방에 확인 가능하고

    자세히 설명하자면

    상수 c가 열린 구간 (-1,0)에 포함될 때 사이값정리에 의해 f(c)=0을 만족시키는 c가 적어도 한 개 존재합니다. f(1)=0이므로 롤의 정리에 의해 상수 k가 열린 구간 (c,1)에 포함될 때 f'(k)=0이 되고, 열린 구간 (c,1)은 열린 구간 (-1,1)에 포함되므로

    f'(k)=0을 만족시키는 상수 k가 열린 구간 (-1,1)에 적어도 한 개 존재한다고 할 수 있습니다.

  • Massachusetts · 808741 · 19/08/20 14:12 · MS 2018

    평균값정리를 사용해서 f(1)-f(-1)/1-(-1)=0도 만족시켜야 되는거 아닌가요?

  • Amas Vin · 761141 · 19/08/20 14:16 · MS 2017

    평균값 정리는 유연하게 사용해야 됩니다. 상황에 맞게

    만약 (f(1)-f(-1)/1-(-1))!=0이 나왔다고 해서 아무 생각없이 f'(k)!=0이구나 라고 생각하시면 안된다는 것이죠

    문제에서는

    그렇게 생각하는 것을 막기 위해 f(0)=1이라는 조건을 줘서 함수 f(x)가 적어도 한 개의 극댓값을 갖는 함수라는 조건을 줬죠

  • Massachusetts · 808741 · 19/08/20 14:20 · MS 2018

    감사합니다

  • 303b · 771116 · 19/08/20 14:03 · MS 2017

  • 성균관 피터파커 · 736295 · 19/08/20 14:04 · MS 2017

  • Holomorphic21 · 870073 · 19/08/20 18:17 · MS 2019

    좀 더 엄밀히 생각하여 봅시다.
    평균값의 정리에 의하여 다음이 존재합니다 :
    f'(x_0) = 2인 x_0 ∈ (-1, 0)
    f'(x_1) = -1인 x_1 ∈ (0, 1)

    따라서, 중간값의 정리에 의해 (x_0, x_1) 사이에 f'(x) = 0인 x가 존재합니다. 자명히 (-1, 1)로 확장할 수 있죠