사이값 정리, 평균값 정리 질문
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문제의 조건이 이럴때, f'(k)=0 인 실수 k가 (-1,1)에 적어도 한 개 존재한다.
이게 맞는 말인가요?
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네 맞죠
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미분가능한 함수잖아요
그래프 그리면 한방에 확인 가능하고
자세히 설명하자면
상수 c가 열린 구간 (-1,0)에 포함될 때 사이값정리에 의해 f(c)=0을 만족시키는 c가 적어도 한 개 존재합니다. f(1)=0이므로 롤의 정리에 의해 상수 k가 열린 구간 (c,1)에 포함될 때 f'(k)=0이 되고, 열린 구간 (c,1)은 열린 구간 (-1,1)에 포함되므로
f'(k)=0을 만족시키는 상수 k가 열린 구간 (-1,1)에 적어도 한 개 존재한다고 할 수 있습니다.
평균값정리를 사용해서 f(1)-f(-1)/1-(-1)=0도 만족시켜야 되는거 아닌가요?
평균값 정리는 유연하게 사용해야 됩니다. 상황에 맞게
만약 (f(1)-f(-1)/1-(-1))!=0이 나왔다고 해서 아무 생각없이 f'(k)!=0이구나 라고 생각하시면 안된다는 것이죠
문제에서는
그렇게 생각하는 것을 막기 위해 f(0)=1이라는 조건을 줘서 함수 f(x)가 적어도 한 개의 극댓값을 갖는 함수라는 조건을 줬죠
감사합니다
네
네
좀 더 엄밀히 생각하여 봅시다.
평균값의 정리에 의하여 다음이 존재합니다 :
f'(x_0) = 2인 x_0 ∈ (-1, 0)
f'(x_1) = -1인 x_1 ∈ (0, 1)
따라서, 중간값의 정리에 의해 (x_0, x_1) 사이에 f'(x) = 0인 x가 존재합니다. 자명히 (-1, 1)로 확장할 수 있죠