Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2019-07-24 23:07:24
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이과생이 보는 나형 미적분 킬러 접근법(20181130 나형 풀이 포함)

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  안녕하세요. 오르비에서 활발하게 활동 중인 노예 Evolved Slave II입니다. 오늘은 제가 나형 과외를 하면서 학생들에게 어떻게 킬러에 대해 접근을 해야 비교적 편하게 문제가 풀리는지에 대해 말한 부분을 약간 다듬어서 얘기하고자 합니다. 이 방법만이 절대적으로 옳은 방법이 아니고, 선생님들마다 접근 방식이 다르므로 제 접근법이 다소 안 맞는다 싶으신 분들은 다른 접근 방식으로 공부하시는 것을 추천합니다.



  우선 주제를 자세히 설명하기 전에 킬러 자체를 접근할 때 가져야 하는 태도에 대해 이야기 하고자 합니다. 문제 조건을 볼 때 '어떻게 이걸 써야 할지'에 대해 고민하면서 바로 풀어내겠다 마인드로 문제를 보지 마세요. '왜?' 이 조건이어야만 했느냐에 집중하세요. 이는 문제를 출제하신 분들의 관점에서 보면 이해가 빠른데, 출제자 분들은 대부분의 경우 그냥 머릿속에 그려지는 그래프 하나만을 보고 내지 않습니다. 정말 여러 가지 그래프 개형들 중에 해당 조건들을 만족하는 그래프가 유일하게 하나로 정해질 때 해당 조건을 이용해서 문제를 내시는 겁니다.


  즉, 각각의 조건들은 가능한 여러 가지 그래프 개형 중에 출제자가 의도한 그래프 하나로 고정되게 해 주는 정말 중요한 존재인 겁니다. 그러니 조건 하나하나를 읽으면서 '이게 그래프 개형 중에 무슨 특징에 대해 힌트를 준 것인가'에 대한 생각을 하시고 접근하시길 바랍니다.



  '그럼 오늘 주제는 무엇이냐?' 라고 물으실텐데, 제목에 있는 것에서 약간 좁혀서 말하자면, '킬러 문제를 볼 때 조건들을 이용하여 여러 가지 그래프에서 하나로 확정할 수 있느냐'에 관한 겁니다. 그 예시에 대해 설명하기 위해, 당시에는 상당히 어렵다고 평가받은 2018학년도 수능 수학 나형 30번 문제를 가져왔습니다. (아래에 좀 지저분하게나마 해설이 써져 있습니다. 그냥 보실 분들은 보시고 안 보실 분들은 제가 이어서 얘기할 해설을 들으시면 됩니다.)


참고로 해당 문제는 파급 효과님 교재에도 실려 있을 나형 문제로, comment를 달 시에 너무 간단하게 달 수 밖에 없어 아쉬워서 가져온 게 큽니다.



  당시 처음 문제를 봤을 때 든 생각은 '이걸 진짜로 교육청도 아니고, 수능에서 이런 식으로 물어봤다고?'였습니다. 아무리 봐도 이과생인 저도 문제에 있는 것 중 '768', '241'이라는 숫자가 너무나도 충격이었습니다. 굳이 768의 의미를 찾아봤자 3 x 2^8 이 전부였고, 심지어 241은 소수인 거 같아서 어떻게 풀어야 하나에 대해 많이 막막했습니다.



  하지만 차분히 마음을 가라앉히고 첫줄에서 물어본 f(x) 그래프 개형을 생각해 보니, '아, (나) 조건에서 말하는 것이랑 이어보니 f(x)와 y=x와 연관이 있겠구나.' 생각이 들어 y=x와의 교점을 찾아보려 제일 간단한 정수인 0과 1을 대입하니 딱 떨어지기에 '아, 이거 가지고 문제를 풀어야 겠구나.'라는 생각이 들었습니다. 



  그리고 (나) 조건을 다시 보면서, (x-n)의 의미를 찾으려 했습니다. 좀 고민하니 '아, 이건 x좌표가 0과 1 사이에 있을 때의 f(x)를 (n, n)만큼 평행이동한 거겠구나.' 라는 생각이 들자 g(x)가 계속 y=x를 기준으로 그래프가 왔다갔다 하겠다라는 생각이 들었습니다. 이렇게 조건들을 하나하나 해석하고 난 뒤에 다시 g(x)를 보니 g(x)는 y=x를 축으로 왔다갔다 하며 '좁혀지는' 함수라는 것을 (나)에서 찾을 수 있었습니다. 



  그렇게 위에 적힌 그래프처럼 g(x)를 차분히 그려보면서 (아, 이 때, (나) 조건에 의해 그래프가 이전 범위에 비해 y=x를 경계로 하는 면적의 비가 1/2로 줄어든다는 것은 찾아낸 상태로 그린 겁니다.) 2x-g(x)를 생각해 보니, 또 이건 나름 신박한 조건이었습니다. 다들 현장에서 별 거부감 없이 '아, 이거 g(x)를 y=x를 축으로 대칭시킨 거구나.'하고 푸셨겠지만, 지금은 현장이 아니기에 또 생각할 만한 요소가 있습니다.



만약 g(x)가 다항함수가 아닌 유리함수일 경우, 2x-g(x)는 g(x)를 y=x 축으로 대칭한 함수가 아닙니다. 이는 점근선을 가진 함수이면 모두 해당합니다. 그냥 g(x)가 다항함수로 주었기에 해당 조건이 y=x 축으로 대칭이 된 겁니다.



일단 이렇게 h(x) 함수에 대해 그리고 난 뒤에 다시 an을 보니, an을 y=x의 위와 아래로 쪼개서 볼 시에 2an-n^2이 또 다르게 보입니다. y=x와 x축을 경계로 면적으로 구해보면 n^2/2이므로 2an-n^2은 그냥 y=x 위에 있는 면적들만 신경쓰라고 평가원이 배려해 준 겁니다. 여기서도 느낄 수 있는 평가원의 따뜻함.



그 다음에 문제를 이제 어떻게 봐야 할까를 보니, (k-1, k)구간과 그 이후의 구간이 눈에 들어옵니다. '왜? 극한 개념까지 써가면서 문제를 냈을까? 그리고 왜? 공비가 1/2인 것을 주었을까?' 이게 파악이 되었으면 다시 (k-1, k) 구간이 다르게 보입니다. '혹시 이 y=x에 둘러싸인 이 넓이를 T라 했을 때, x좌표가 k이상인 구간을 싹 다 없애주지 않을까?" 이런 생각으로 들어가니 아니나 다를까, T-(T/2+T/4+T/8+...) 이런 꼴로 완벽하게 소거됩니다. 이래서 극한까지 줘서 지워달라 했구나라는 생각이 들었으면, 우리는 (0, k-1) 구간에서 y=x 사이의 넓이만을 이용해 답을 구하면 됩니다.



  그러면 한번 다 파악이 되었으니 계산을 하러 갑시다. 일단, (0, 5) 구간에서는 이미 값을 각기 알고 있으므로 다 일일이 구해줍시다. 계산해 보면 1/12+1/24+1/48+1/96+1/192 이런 식으로 식이 나옵니다. 그리고 (5, k-1)에서 생각해 보는데, 이 때 중요한 거는 얼마나 계산을 해야 할지 정해져 있지 않으므로 그냥 무조건 계산을 하는 것은 너무 막막합니다. 한번 제일 큰 부분을 S라 하고,(미리 S를 구해보면, 1/384가 나옵니다.) 그거에 맞게 식을 세워 보죠. 계산을 하면 -(S+1/2 S + 1/4 S +...)이런 꼴이 나온다는 것을 알 수 있습니다. (이 때, (-) 부호를 붙여준 이유는 (0, 5)와 달리 y=x 아래에 있는 넓이이기에 빼줘야 하기 때문입니다.)



  그럼 이를 통해 2an-n^2을 세워 보면, 2{(1/12+1/24+1/48+1/96+1/192)-(S+1/2 S+ 1/4 S+...)} = 31/96-S(2+1+1/2+...)=241/768임을 알 수 있습니다. 앗! 이제 보입니다. 왜! 분모를 768로 보였는지가 명확하네요. 96에 8을 곱하면 768이 되므로 통분을 할 수 있어서 직접 계산해 보니, S(2+1+1/2+...)=7/768 임을 알 수 있습니다. 그리고 이전에 S=1/384임을 알고 있으니 한번 대입해 보고 깔끔하게 정리하니, 2+1+1/2+...=7/2가 되어 1/2일 때까지 더하면 된다는 것을 알 수 있습니다. 


그럼, (5, 6), (6, 7), (7, 8)까지의 넓이를 구해서 해당 넓이가 나왔고, 8=k-1임을 알았으니 k=9임을 알 수 있습니다.




  말로 풀어서 하나하나 설명하니 상당히 복잡해 보이지, 실제로 이런 내용 하나하나를 빠르게 조건에서 해석할 수 있었으면 그렇게 계산도 많이 할 필요가 없는 문제였습니다. 이런 식으로 문제를 해석할 때 조건을 보면서 '왜?' 라는 질문을 잘 던질 수 있으면 어려운 킬러 문제도 한결 가볍게 풀 수 있지 않을까 싶습니다. 오늘 글은 여기까지입니다! 긴 글 읽어 주셔서 감사합니다!

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