[수학] 문제풀면서 개념 공부하는 법 - 특히 나형
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제가 과외할 때 가르치는 공부 기법 중에.. 좋은거 하나 소개하려 합니다.
제 수업 안 들으실 분들도 잘 읽고 적용해보세요!!
문과 하위권부터 가형 1등급까지 적용되는 방법입니다.
특히 "애매한 나형 3등급"한테 좋습니다
- 개념 공부?
수학에서 개념이 중요하다고는 하는데 어떻게 공부해야할까요?
개념 공부는 다음 과정에서 이루어집니다.
1. 처음 개념서를 보면서
2. 문제를 풀면서
3. 백지쓰기 하면서
1번에 관련해서도 중요한 내용이 많습니다만.. 이건 글로 쓰기에 좀 애매하고요.
3번은 널리 퍼져 있는 방법이니 패스하고
2번에 대해 말하려 합니다.
이 글을 읽는 여러분은, 문제를 풀며서 개념 공부가 되시나요?
문과 2등급 이하의 "대부분", 가형 3등급이하의 "대부분"은 문제를 풀면서 개념 공부를 못합니다.
바꿔말하면,
개념은 그저 기본 문제를 풀기 위한 수단이고, 이후에는 문제로써 문제를 푸는 경향이 강합니다.
다시 말하면, 개념이 중요하다는 말을 들어서 개념이 중요하다고 생각하는거지, 본인 스스로
느껴서 그렇게 생각하는 것은 아닐 겁니다.
개념이 문제에 어떻게 쓰이는지 스스로 느껴보면서
개념을 통해 문제를 공부하는 법을 소개하겠습니다.
- 구체적인 방법
문제를 풀고 나서, 그와 관련된 개념을 써보는 겁니다.
이제 이 문제를 분석해봅시다.
그러려면 먼저 푼 흐름을 생각해봐야 합니다.
ⓐ 먼저 그래프를 그려서 두 그래프가 어떤식으로 분포하는지 살펴본 후,
ⓑ 점근선의 개념을 토대로 두 교점 중 오른쪽 부분은 반드시 만난다는 것을 알고
ⓒ 왼쪽 부분은 k값에 따라 만날 수도 있고 안만날 수도 있다는 것을 알 수 있습니다.
ⓓ 이를 무리함수 그래프가 어떻게 그려져야하는 지 파악하고, 이를 토대로 지나야하는 점을 구하고 (3,0)
k값을 구했습니다.
ⓐ와 ⓑ는 수2 단원에서 나오는 유리함수, 무리함수 그래프입니다.
따라서 문제 아래에 아래와 같은 느낌으로 쓰면서 개념을 다시 복습해봅니다.
본인이 아는 대로 개념을 쓰면서 생각해보는 겁니다.
저 같은 경우 파란색으로 개념의 명칭쓰고, 검은색으로 개념의 내용을 써요.
이 과정의 목적은, 개념을 다시 각인시키고, 개념과 관련된 논리 흐름을 다시 생각해보는 거에요.
단순 개념 암기느낌이 아닙니다.
만약 잘 안써질 경우, 혹은 부족하다 판단될 경우 본인이 가지고 있는 개념서를 다시 찾아보는거죠.
이때, 정리해서 다시 보겠다는 목적이 아니고 쓰는 과정 자체가 의미있는 겁니다.
즉, 쓰고 난 결과물이 의미있는게 아니고, 이 과정 속에서 머릿속으로 생각하는 게 더 중요해요.
그러니 굳이 너무 깔끔하게 이쁘게 할 필요 없습니다. 괜히 시간만 오래걸려요.
ⓒ는 추론에 해당하는 거고
ⓓ는 x축과 만나는 점 구하는 건데.. 함수값 대입해서 하는 중학과정이죠.
만약 본인이 중학수학도 부족하다 생각되면 마찬가지로 정리해줍니다.
이 방법은 가형에서도 됩니다.
비교적 덜 먹히는 곳은 "집합, 명제"정도이고
잘 먹히는 단원은 "함수극한" "수열극한" "미분" "적분" "통계" 입니다.
특히 미분, 적분, 통계가 잘 먹혀요.
가형 준킬러, 킬러 / 나형 킬러 문항은 문제에 쓰인 개념이 많다보니 정리하는 내용도 많아질 겁니다.
어려운 문항에서 이 방법을 적용하면 다음과 같은 효과를 기대할 수 있습니다.
1. 풀이 흐름을 처음부터 살펴봐야 하기 때문에, 문제 풀이의 숲을 볼 수 있다.
2. 풀고나서, 그 유형 자체가 외워지는 게 아니라 개념이 어떻게 쓰이는지가 각인이 된다.
수능은 유형 자체가 머리에 각인되면 안 된다. 이를 막아줄 수 있다.
2+@. 문제를 문제로써 바라보는 게 아니라, 개념으로써 바라보게 된다.
즉, 문제를 단순 유형으로 보는 게 아니기 때문에, 평소에 느낀 "내가 보기엔 다른 문제인데 왜 같은 문제라고 하는거지?" 현상을 막아준다. 이 과정을 거치면 같은 개념이 쓰인 대부분의 문제가 같은 문제로 보이게 된다.
3. 개념을 까먹어서, 혹은 덜 익숙해서 못 푸는 것을 막아준다. 즉, 이 방법으로 하면
뇌에 구멍나 있는 거 아닌 이상 개념을 잊어버릴 수가 없다.
[주의사항]
1. 다시 말하지만 하는 과정 자체가 의미있는 것이다. 하고 난 결과물이 중요한 게 아니다.
개념 쓰면서 머릿속으로 계속 생각해야 한다. 스스로 선생님처럼 머릿속으로 설명해봐야 한다.
2. 이 방법이 만능은 아니다. 이 방법은 "개념 공부"에만 최고이다. 즉, 본인이 개념이 아닌 다른 게 부족해서 문제를 못 풀 경우 큰 도움이 되지는 못한다.
3. 웬만하면 이 방법을 하는 것이 좋다. 생각보다 시간이 오래 걸리지 않는다. 만약 오래 걸린다면, 본인이 개념을 제대로 모를 가능성이 크다. 만약 생각하는 시간이 아니라, 쓰는 시간 자체가 오래걸린다면 좀 더 간소화해서 써보도록 하자.
4. 어느정도 개념을 알고 있을 때에만 이 방법을 하도록 합니다. 아예 개념을 모른다면, 지금 기출을 풀 때가 아니라 개념서와 개념서 예제를 풀어야 합니다.
5. 모든 문항에 대해 위 방법을 적용할 필요는 없습니다.
만약 문제가 2점짜리 수준이고, 해당 문제 분석은 이미 전에 한 경우 하지 않습니다.
본인이 조금이라도 생각할 거리가 있는 문제에서만 진행합니다.
- 저 같은 경우, 으로 치면 모의고사 4번 수준정도면 분석하고,
모의고사 14번 수준부터 좀 더 자세히 합니다.
모의고사 21, 29, 30번 수준의 경우 강약을 둬서 진행합니다.
- 본인 수준에 맞춰서 진행합니다.
6. 이건 훈련법이지 문제를 당장에 잘 풀게하는 기술, 요령이 아니다. 문제를 풀고나서 다시 사고를 갈무리할때 하는 거다.☆☆☆
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참고로 본인은 1년정지먹어서 글 못씀
사진이 안보여용 ㅠㅠ
사진이 안보여여잘 보이나용?
맨밑사진만 보이네여
저두 그럼
다시 수정했어요~
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개념서 = 기본적인 공식 암기 + 사실에 대한 이해
기출 = 암기한 지식에 대한 쓰임새 (아이디어)
갠적으로 확통같은 건 공식 위주라서 개념서 없이
바로 기출로 시작했고 이를 통해 느끼게 된 건,
우리가 배우는 수학은 수학이 아니라 아이디어 암기.
일례로 공간도형에서 눈에 잘 보이지 않는 비례식을 찾기 위해서는 합동조건을 파악하는 것이 중요하고,
또 굳이 그것이 아니라 할지라도,
해당 그림에서의 접선으로 인한 접점 등과 같은
핵심 포인트 주변에서의 도형에 길이를 알 수 있다든가 하는 유사한 상황에서는 내가 생각을 어떻게 해야되는지와 같은 필연적인 행동강령을 찾아내고 이것을 내 것으로 만드는 것이 수능 공부의 전부라 생각함.
문제만 드럽게 풀어서 성적이 오르는 경우는
이 과정이 문제를 풀면서 자연스레 외워져서
그런 것임.
다만, 이렇게 되면 해석을 꼬아놔서 제대로 이해해야되는 문제들이 나왔을 경우 틀릴 확률이 높아짐.
수능에서 머리가 좋다는 건 지식을 흡수하는 속도가 빠르다는 것이고, 근본적으로 머리가 좋다는 건
직관적인 사고가 뛰어나다는 것인데,
수능은 머리가 아무리 좋아도 고교과정은 기초가 있어야 되고 유사한 경험의 토대없이 직관적으로 슥-삭 할 수 있는 문제는 중상이상의 4점에서 거의 안나옴.
그래서 기초에 빵꾸가 나고 머리에 든 게 없으면
30번 같은 거도 절대 못풀게 되어 있음.
당장 나만 봐도 초딩때 공부 안하고 수학 경시대회
1등하던 놈도 유사한 문제를 풀지 않거나 기출을 아예
안하면 3등급~2등급이 한계임.
개념과 개념을 순식간에 유기적으로 연결시킬 수 있는 아이디어에 대해서 전부를 아는 게 아니기 때문.
이는 과정에서 단 하나라도 부족하면 결국 못풀게 되는 수학의 특성상 지극히 당연한 결과임.
마치 복잡한 3차원 도형이나 도형 그래프에서
보조선 긋는 것을 아예 안해봤다면,
직관적으로는 순식간에 잘 안보이는 것처럼.
사람들이 흔히들 개념에 대해 착각하고 있는 게 있는데, 개념을 모른다는 건 그냥 공부를 안했다는 것이고,
개념을 적용하는 세부적인 아이디어(지식)나 이를 전개하는 논리적인 과정 자체에 빵꾸가 있기 때문에 문제가 안풀리게 되는 상황임을 똑바로 인지하지 못하고는 이것을 개념이 불충분하다는 것으로 혼동함.
우리가 공부하는 이 개념이라는 것은 사실,
조금의 이해가 필요한 영어단어 암기나 다름없음.