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이계도함수가 존재한다=미분가능하다
도함수가*
아 그림그려서 이해시켜드리려고했는데 노트 펜을 잃어버려서 안되네
만약 f'(x)가 x=a에서 뾰족한 상황이라고 산다면은 f''(x)가 x=a에서 정의가 안됨.
열심히 썼는데 댓글이 지워져서 ㅜㅜ 제가 쓴거 스샷으로 올려요
참고로 미분가능하다랑 도함수가 연속이다는 의미가 약간 다른게 있어서 ㅜㅜ. 내신에서 로피탈정리 못쓰게 하려고 출제한 함수중에 sin1/x? 이거랑 유사하게 생긴게 반례라
f'(x)가 |x|인 경우에는 이계도함수에서 x=0에서 값이 존재하지 않는게 자명하지만 이 문제에서는 h(x)가 하나의 함수가 아닌 구역별로 나눠진 함수라 경우가 다르지 않나요?ㅜㅜ h''(+-1)=f''(+-1)이 아닌가요
h(x)의 이계도함수가 |x|>1에서 0이고 |x|<=1에서 f''이고, 각각의 섹터에서 이계도함수가 연속이니 f''(+-1)의 값이 0이 아니더라도 h''(x)는 불연속일 뿐이지 존재는 하지 않나요??
f''(x)가 불연속이면 도함수가 존재하지 않아요. f''(x)가 불연속인 상황부터 가정하는게 출발이 아니라.
이계도함수가 존재하기때문에 도함수가 미분가능하다고 출발하는게 맞습니다.
f''(x)가 불연속이면 도함수가 존재하지 않는다뇨..? 그게 무슨 소리신지..제가 잘못 알고 있던건가요
아까 예시로 드신 f''(+-1)이 0이 아니라고 가정했을때 그것을 만족시키는 도함수 f'(x)가 존재하지 않아요. 함수가 존재하지 않는거죠
혼동하시는 이유가.
p(도함수가 미분가능하면)
q(이계도함수가 존재한다)
p이면 q이다 를 말씀드리고 있는건데
님은 'q이면'으로 출발하고계신거에요
제가 빡대가린지 지금 몹시 혼란스러운데
자꾸 물어봐서 죄송해요ㅜㅜ
1.f(x)가 4차니까 ax^4~~+e로 두면 미지수가 5개 생긴다
2.이계도함수가 존재하니까 원함수,도함수 모두 연속이겠네 - 관계식 4개
3.관계식이 하나 더 필요한데 흐름상 이계도함수 연속 관계식 두개 더 뽑아내면 문제는 풀리지만, 문제에는 이계도함수 존재성만 보장했을 뿐 연속에 관한 언급은 없음
4.[-1,1]구간에서의 h''(x)는 f''(x)와 같으므로 모든 구간에서 연속이고 잘 정의되어 있음
5.(-무한,-1),(1,무한) 구간에서의 h''(x)는 0임
6.연속임은 보장 못하지만, 어쨌든 모든 실수에서 잘 정의되어 있음
7.답지처럼 f''(+-1)=0이라고 단정하기 위해서는 이계도 존재가 아닌 이계도 연속으로 바꿔야 될듯
어디가 잘못된건가요ㅜㅜㅜㅜㅜ
도함수가 미분가능하다는 조건을 안쓰셨어요 ㅜㅜ. 이계도함수의 존재가 명시되었으니까 도함수가 미분가능한거에요.
'도함수가 연속이다'랑 '미분가능하다' 랑 엄밀히는 다른것이기 때문에
'도함수가 미분가능하다' 를 '이계도함수가 연속이다.' 으로 함부로 말씀드리지 않은거지. 이계도함수가 연속이다로 아셔도 됩니다.
여태까지 계속 검색해보고 오는 길인데 알쏭달쏭하네요 좀더 고민해봐야될듯 해요ㅋㅋ그래도 이계도존재->도함수미분가능 하나 배웠으니ㅜㅜ
끝까지 답변해주셔서 정말 감사드립니다
계속 말씀 드리고있던게 이거인데 ㅜㅜ 저거 보면은 f'(x)가 a에서 뾰족하면은 f''(x)는 x=a에서 함수가 비어버려요. x=a에서 함수가 존재하지 않는거죠. 이계도함수가 존재한다라는건 정의된 정의역 내에서 치역이 존재한다는것을 내포합니다
네 근데 끝까지 뭔가 찝찝한게..
예시로 드시는 함수들도 그렇고 일반적으로 설명할때도 |x|같은 하나의 함수가 나오는데 이럴땐 첨점에서의 빵꾸가 색칠될수가 없기때문에 도함수값이 존재하지 않는건 너무너무 잘 이해가 됩니다
그런데 문제의 h(x)는 두개의 함수가 단순히 구간별로 나눠 정의된 함수이기 때문에 이계도함수를 그렸을때 불연속일지언정 빵꾸는 뚫리지 않습니다. 즉 모든 실수에서 도함수의 미분계수값 정의가 잘 되고 있는걸로 보입니다..
이렇게 모든 미분계수값이 정의가 되고 있으니 문제 조건에 위배될건 없어보이는데 또 그게 아니라 하시니..ㅜㅜ
(수학 선생님께도 여쭤봤는데 문제가 잘못된것 같다고 하셔서 혼란스러워요ㅜㅜ)
저 함수를 하나의 함수가 아닌 미분 불가능점을 기준으로 양쪽이 다른함수라고 생각하시고 보신다면은 방금 말씀하긴. 두 함수가 이어진 경우에서도 성립한다는걸 아실수있습니다.
아 뭐야 지워졌네
우선 두 함수가 이어진 점에서 도함수가 미분가능하지 않으면은 이계도함수는 빵꾸가 뚫리게 됩니다. 이 부분은 팩트로 인정하시지 않나요?. 미분 불가능점에서 미분계수는 애초에 정의가 되지 않기에 빵꾸가 뚫립니다. 안채워집니다.
문제 100프로 잘못된거 없습니다.
뭔가 실마리가 보일것 같아요
저는 hx를 새로운 함수라고 보기 이전에 서로 다른 함수 두개가 합쳐진 것이니 이계도함수값을 설정할때도 fx(원래 사차함수)의 이계도함수값은 1에서 분명히 존재하니 hx의 이계도함수값도 존재한다고 생각했는데
그렇게 보는게 아니라 hx를 아예 새로운 함수로 보고 미분계수 정의에 따라 h'x에서 1주변에서 좌미분 우미분계수가 다르니 f''x의 값과는 무관하게 hx에서는 h''1이 정의되지 않는다..이건가요?
앞에서 말씀하신 f(x) 는 -1~1이라는 범위가 정해졌기 때문에 이계도함수가 존재한다고 본다는것은 잘못됐습니다.
h'이 1주변에서 좌미분 우미분계수가 다르다'면' h''(1)이 정의 되지 않습니다.
아ㅋㅋㅋhx를 fx와 gx의 구간에 따른 단순집합으로 보기 이전에 일단 새로운 함수로 정의됐으니 fx gx 각각의 정체성보단 hx로서의 성질이 우선되는거군요
그냥 제가 느낀대로 끄적여봤습니다..감사드려요 어렸을때도 이거랑 비슷한 문제로 고민했던 기억이 어렴풋이 나는데 해결된듯 하네요ㅜㅜㅜ
넵넵 열공하세요~
쉽게 이해시켜드리기 위해서 f(x)와 f'(x)간의 관계를 설명드리겠습니다.
(주의: 도함수가 연속이다와 미분가능하다는 엄밀히 다른 의미지만 일단 제가 들 예시는 도함수가 연속과 미분가능을 동시에 만족시키거나 동시에 불만족시킬 예시이기에 둘을 같은 의미로 취급하겠습니다.)
f(x)가 a에서 미분 불가능하면은 f'(x)는 a에서 빵꾸 뚫립니다. 이건 두개의 함수이나 한개의 함수이나 팩트입니다.
이걸 f'과 f''에 적용시키면은
f'이 a에서 미분 불가능하면은 f''은 a에서 빵꾸 뚫립니다.