김민상 [801454] · MS 2018 · 쪽지

2019-05-20 12:26:23
조회수 174

미적분 질문 재업로드

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명제 pn이 모든 자연수 n에 대해 참일 때 pn은 n이 한없이 커질 때 참인가요? 어떤 사이트에서 이에 대한 반례로

유리수 수열 an={3, 3.1, 3.14, 3.141, ...}에 대해서 n이 한없이 커질 때 an은 정의대로 유리수라고 할 수 있을까? 라고 이야기했는데 이는 무리수의 정의상 이 유리수 수열의 극한값이 무리수인 것이고 이와 무관하게 n이 한없이 커질 때 an은 유리수가 맞지 않나요? 

마찬가지로 n번째까지의 모든 소수의 곱bn의 극한이라고 하면 발산해도 bn은 모든 자연수 n에 대해 짝수이므로 모든 소수의 곱은 짝수가 아닐까요?

명제의 참거짓에 대해서 이야기할 때 극한이 이야기될 이유가 없지 않나요?

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  • umrhai · 712111 · 19/05/20 12:57 · MS 2016

    흥미로운주제다..
    an=((-1)^n)1/n 도 ln2에 수렴하던데

    수열의 극한값도 수열의 항으로 봐야하느냐는 문제네요

  • epoché · 863038 · 19/05/20 13:00 · MS 2018

    정의역이 실수이고 공역이 {0,1}인 함수 p(x)를 다음과 같이 정의합시다.
    p(x)=0(x가 무리수), p(x)=1(x가 유리수)
    이 함수는 모든 곳에서 불연속입니다.
    (https://ko.m.wikipedia.org/wiki/디리클레_함수)

    수열 an을 다음과 같이 정의합시다.
    an : 파이의 소수 n째 자리부터 버림한 수
    lim n->inf (an) = 파이 입니다.

    lim n->inf [p(an)] (1) 과
    p[lim n->inf (an)] (2) 의 값을 생각해 봅시다.
    (2)번 식의 값은 lim n->inf (an)이 무리수이므로 0임을 알 수 있습니다.
    그럼 (1)도 0일까요?
    여기서는 p(x)가 모든 x에서 불연속이므로 합성함수의 극한 정리를 사용할 수 없습니다.
    수학적 귀납법을 적용하면 (2)번 식의 값이 1임을 보일 수 있을 것 같은데, 충분히 엄밀한 풀이인지는 자신이 없네요ㅠㅠ