[기벡 / 이차곡선] 타원, 쌍곡선에 대한 수식적(?) 고찰
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안녕하세요. 재서기❄ 입니다.
오늘은 문제 말고
알고 있어도 수능 땐
"1도 쓸데없는" 토막 글 하나 가져왔습니다!
(그래도 1 정도는 쓸모 있지 않을까...)
보시면 신기할 수도 있으니 읽어보아요.
그럼 바로 본론으로 들어가보겠습니다.
일단, 타원과 쌍곡선을 관찰하기 전에
원부터 보도록 하겠습니다.
일반적으로, 좌표평면에서
중심이 원점이고
반지름의 길이가 r인 원의 방정식은
로 표현합니다.
인 것을 생각하면,
로 표현할 수 있습니다.
이를 '타원'과 '쌍곡선'에도 적용해보자는게
이번 칼럼의 주제입니다.
일반적으로, 좌표평면에서
중심이 원점인 타원의 방정식은
꼴로 표현합니다.
를 똑같이 반영한다면
로 표현할 수 있습니다.
일반적으로, 좌표평면에서
중심이 원점인 쌍곡선의 방정식은
or
꼴로 표현합니다.
임을 생각하면
일 때는
일 때는
로 표현할 수 있습니다.
그렇다면 이를 가지고
접선의 기울기를 구할 수 있지 않을까!
라는 생각을 해봤습니다.
각각의
를 한 번 구해보도록 하겠습니다.
를 이용합시다!
원의 중심이 원점인 원에 대해서
이므로, 원에서의 접선의 기울기는
접점만 알고 있다면 바로 구해낼 수 있습니다.
(사실, 법선의 기울기의 역수의 -1 배를 해도 구해낼 수 있지만,
타원과 쌍곡선의 경우에도 적용해보고자 이 방식을 써봤습니다.)
타원의 중심이 원점인 타원에 대해서
타원의 접선의 기울기는
입니다.
쌍곡선의 중심이 원점인 쌍곡선에 대해서
쌍곡선의 접선의 기울기는
or
로 동일합니다.
사실,
에서
A=B>0이면 원
A≠B, A>0, B>0이면 타원
AB<0 이면 쌍곡선 인데
이 이차곡선의 접선의 방정식은
이므로,
여기서 접선의 기울기를 구하면
임을 쉽게 알 수 있다는 것이죠.
그냥 요런 식으로도 볼 수 있구나 정도로만
훑고 지나가시면 될 것 같습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다.
질문: 이런 걸 알면 어디에 적용할 수 있나요?
답변: 첫 단락에 1도 쓸데없다고 명시했어요.
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와우 저도 이거 쓸라고 했었는데
12~16 기출풀때 저거 쓰면 개꿀
아 사인 코사인 나오길래 극형식 나오는줄...
아쉽게도 아니었습니다
푸슝푸슝
요약
타원 접선의 기울기 크기 : (두 꼭지점 평균변화율)^2 / 원점과 접점의 평균변화율 크기
쌍곡선 접선의 기울기 크기 : (점근선 기울기)^2 / 원점과 접섬의 평균변화율 크기
와 저도 처음 이차곡선 공부할 때 저렇게 수식으로 끄적이며 헤맨 적이 있는데...정형화시켜 식으로 보니 되게 예쁘네요. 26
음함수의 미분법이군요.