님들 저 인수정리 이해함
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실계수 다항식에서 a넣으면 0된다 했을때,왜 x-a를 인수로 가지는지 이해가 안됐는데,그니까 왜 덧셈뺄셈끼리의 식이 곱으로 변형이 가능한지..
(0곱하면 0이니까 라는 답변은 애초에 덧셈과 뺄셈만으로 이루어진 다항식을 일차식들간의 '곱'으로 바꿀수있다는 전제를 포함하므로 질문에 대한 답이 안될듯)
근데 증명은 아니구,다만 스스로 확신할 수 있는 논리를 터득함
간단하게나마..
일단 a 가 다항식의 근 (0되는) 이라 가정하고,
다항식을 최고차항부터 x-a 로 묶어주는거임
A x^n + ..... 이런 다항식에서 n이 최고차수라 했을때(A는 계수)
A (x-a)(x^(n-1))꼴•••[1]로 최고차항부터 하나씩 내려가주는거임
뭔소리냐면 주어진 다항식과 [1] 식은 최고차항은 같지만 n-1차항부터는 같다는 보장이 없잖슴? 그러므로 [1]식에 최고차수가 n-1 차인 다항식을 적절하게 더해주어야 한다는 얘기잖슴
그러면 그 더한식은 결국 n-1차 식인데다가,a를 넣으면 0이 나와야됨
그러니까 결국 처음에 언급했던 n차 다항식처럼 x-a로 적절히 묶어줘서 변형시키는 과정을 똑같이 적용시키는거임
이런식으로 하다보면 상수만 남을텐데(추가적으로 더해주는 식이)
a넣으면 0이니까 상수는 0이됨
고로 주어진 식의 변형꼴은 모두다 x-a를 인수로 가지는 다항식들의 합임
다시 말하면 x-a 기준 나머지 떨거지들을 결합법칙을 적용시킬수 있다는거임
그럼 결국 주어진 다항식은 x-a를 인수로 가지는 다항식,즉 곱으로 표현이 가능
참고로 실계수다항식만 따져본거임 ㅇㅇ
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을 구하시오
x^3 + x^2 + x - 3 이 다항식을 예로 들자면
일단 1넣으면 0이잖슴?
그러면
x^3 + x^2 + x -3=(x-1)(x^2) + 2 x^2 + x - 3
=(x-1)(x^2) + 2 (x-1)(x) + 3 x - 3
=(x-1)(x^2) + 2 (x-1)(x) + 3 (x-1)(1) + A
이고,항등식이므로 1넣으면 0 고로 A 는 0
따라서 (x-1)을 인수로 가지는 다항식들로만 이루어진 다항식들의 합 형태 완성
고로 x-1 기준 결합법칙 적용
하면 깔끔하게 x-1을 인수로 가지는 다항식으로 표현가능~~
좀더 구체적인 예는 계수와 차수를 임의의 실수로 둬보시고 해보시길..ㅋㅋ
TMI인데 위의 상황(근 1개를 알고있는 상황)에서 더 깔끔하게 하는 방법은3차항의 계수가 1이니
(X-1)(X^2~~~~)이렇게되어
-X^2인 상태에서
준식의 2차항의 계수가 1이니 +2X^2을 해야하니
(X-1)(X^2+2X~~)
1차항의 계수가 1이니
(X-1)(X^2+2X+3)으로 한 번에 가능허기두 합니당