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석호쌤 [420950] · MS 2012 · 쪽지

2019-04-21 20:27:21
조회수 29,087

벡터x공간 준 킬러 개념 총정리

게시글 주소: https://orbi.kr/00022456077


기벡은 준킬러도



미적분 에 비해 상대적으로 


같은 원리의 내용들이 반복 출제 되는 편이라



상대적으로 1.5등급 기준


 29번급 이상 다뤄야 할 도구 분량이 많지 않음



이번 게시물에서는 간단한 방향 팁 위주로 정리



1등급 이상은 



굳이 이번 특강 안들어와도 


이 게시물 안에서 어느정도 정리 가능할거라 생각





1. 좌표 내적 각



우선 개념 부터 하나 



공간은 축 설정 만 


훈련 잘 해 두면 나중에 두고두고 편리 



1) 

두 평면 사이 각도는 


두 법선사이 각



2)

H를 원점으로 


E를 x축.  G를 y축.  D를 z축 방향 재설정 하면



삼각형 EDG의 법선으 세 축에 대칭 조건 이므로 


(1.1.1) 방향을 가짐 



나머지


사각형 평면도 같은 방식으로 법선 방향 


비율만 구하면 되므로 


(1. 루트3. 0) 



내적으로 각


답 5번





14년 7월 축 설정



역시 뒤로 갈 수록 


축 설정 능력 중요 



역시 H원점으로 


G. E. D 방향을 각 x. y. z 축 설정하면 



아래 큰 삼각형 법선 방향은 (1. 1. 1)


위 작은 삼각형 (1. -1. 1) 이므로 



cos 값 1/3






14년 수능




저번 최고난도 설문 때


질문 가장 많이 받았던 것 중 하나 



벡터에서 최대 최소의 방향성은 


워낙 많이 물어보기 때문에 



풀이 과정 자체를 프레임화 시켜두면 편리




공간 에서


(PQ^2) - (양쪽 평면에 내린 두 정사영 ^2)


최대 이기 때문에 



1)

방향성 부터 확인하면 


PQ가 최대. 두개 정사영은 최소의 방향 



2)


PQ의 길이는 실수배로 3개 값에 


모두 k^2배의 역할을 하므로



무조건 지름이 되어야 함



이제 길이는 고정



정사영이 최소가 되는 


방향만 확인하면 해결  




3)

공간 최대최소는


평면화 확인이 우선



두 평면 사이 각 60도



교선에 대해 수직으로 자른 단면 안에서 


PQ가 벗어나면 정사영이 최소가 될 수 없음




(예시 생각


- 기울어진 원을 바닥 평면에 내리면 


두 평면 교선의 수직방향일 때 최소 평행 방향일 때 최대이므로 



교선 방향에 수직할 수록 정사영 최소 방향)




4)


이제 두 평면에 수직으로 단면 잘라


평면화




5)


60도인 두 선분 안에서 두 정사영 


즉 cos ^2 (a) + cos ^2 (120도-a) 의 최소이므로 



코사인 제곱 그래프 익숙하면


60도 60도 대칭일 때 최소


바로 확인하거나 


(두 함수값 합은 y값 중앙x 2배


그래프 위로 볼록 성질 이용)



각의 합차 공식 써 계산할 수 있음



(근데 어짜피 증명 안해봐도 


세타와 120-세타 조건이 대칭이므로 중앙 아닌 값에서 극이 나올 수가 없음)



답 24




14년 10월 교육청 정사영 최소 방향




정사영 넓이 최소 인데 



원본 면적이 정삼각형 고정이므로 


각이 최대로 가파를 때 최소 



OR을 Z에 붙였을 때 cos 값은 


루트2 / 루트3 






5. 수직 평면 벡터 내적 




수직하는 두 평면 위의 벡터 내적은 



두개 성분이 각각 0 교차로 곱해져서 


0 + 0 + ... 형태 결과물 나옴




굳이 P의 방향을 잡으면 


(0. sin. cos) 이고 



Q는 y좌표가 0인


(?. 0. 1-cos) 이므로 




두개 내적하면 


0 + 0 + t(1-t) 


1/2일때 최대 값 1/4




포인트는


수직 방향 성분 구할 필요 없음



마지막으로 한변의 길이가 4이므로 


압축했던 4^2배 복원 해 주면 



답은 4





6. 축 분해 연산



벡터 연산은 항상


축 먼저 분해 



BA 벡터와 CE 벡터 핪은 


z 값이 먼저 연산 되어 위아래로 대칭 0 이므로 



두개 벡터 


xy평면에 정사영 내려 평면화 




삼각형 무게중심으로 가는 두 벡터의 합이 되는데 




두 벡터 합 = 중앙 x 2배 이므로 


 

2루트3 의 x 2배


제곱하면 답 12






공간 각 7 + 1



참고로 공간에서 각을 구하는 형태는 크게 


위 7+1가지 



눈으로 바로 안 보일 경우 우선순위 차례로 의심




사실 수학에서 이런식으로 풀이 프레임을 짜는 것은


별로 좋은 방법이 아님 



만능 툴이라는게 19번 급 만 넘어가도 


있지 않은경우도 많고 




하지만 


이과 삼각형 넓이 공식과 


공간 각 정도는 워낙 갈래 길 많아서  




나올 때 마다 한번 씩 정리해 두면 


놓쳐 틀리는 경우 방지






8. 움직이는 상태 답 편한 값 넣기



1)


직선의 방향 성분 구해야 하는데 



교과적 풀이는 


방향이 원 모양 그리며 돌아가므로 


(cos. sin. k) 형태이고 



제곱 제곱 제곱 하면 


앞이 상수가 되므로 xy 성분과 z 성분에 대한 비율 만 구하면 됨 




2)


그런데 이런식으로 값이 돌아가는 상태에서 답이 나오려면 


어떤 방향에서도 항상 같은 답으로 고정되어야 하므로 



거꾸로 우리는 아무거나 


가장 편한 값을 넣어도 답을 구할 수 있음 



즉 yz 평면 위에 눌렀을 때 


(0. 1. 루트3) 비율 일 때 값을 넣어도 답이 나와야 하므로 



z = 1이 되도록 비율 조정 해주면



답 2번





9. 원 동점 축 설정


많은 공간 준킬러 들이



축 설정만 잘 해줘도


반은 해결 



H가 원 위에서 움직이므로 



E를 원점 잡고


A 방향 G방향 각각 x. y축 설정하면 



H(cos. sin. 0) 이므로 


F와 B 좌표 잡아서 내적






10. 벡터 대칭 확인



벡터 값을 3개 이상 더하는 문항은 


뭔가 대칭으로 지워지거나 연산이 된다는 얘기 



(출제자 입장에서 


굳이 4개 5개를 다 구해 더하는 문항을 낼 필요 없으니까..) 




위 같은경우 


팔각기둥 무게중심 중앙에 모든 점이 대칭이므로 



P-(무게중심) 거리 x 16배 


답 48 




혹은 



공간에서 대칭 잘 안 보이면


두개 씩 묶어서


A3 + B7 = 중앙 x 2배 


... 


이런식으로 8 쌍 합 = 16개 







2. 


강남 오르비 5월 수업은


5월 4. 11. 18일 토요일 



[1.5 - 2등급]을 위한 


29번 준킬러 총정리를 통한 


공간 x 기하 벡터 도구 개념 완성 3주 특강


입니다. 




2등급 이상 기벡 내용이 


어느정도 한정적이다 보니 



위 게시물 내용과 수업도


많이 다르지 않을 것 같아요ㅎㅎ




아무래도 저번달 


[1등급] 미적 킬러와 비교하면 



상대적으로 


기출 킬러 자체의 난이도도 


낮게 출제되는 편이어서



공간 방정식 도구 총정리 라던지 


기반 개념 및 원리 총정리도



어느정도 함께 진행 예정입니다:)




수강 


5월 3주 완성 19만원 



교재 


절대수학 백귀야행 


벡터 공간 


6000원




수업 예약 링크  


https://forms.gle/BEG25FMtx4Z6HnTP7




문의


강남 오르비 02-522-0207





3.


5월 6일(어린이날 대체휴일)


오르비 통합 입시설명회



한강의 흐름 님. Shean T님, SSB T님


저를 포함하여



국. 영. 수 + 입시 전략 내용 준비되어 있으니


많은 참석 부탁드립니다:)



참고로 저는 


https://orbi.kr/00022428272


요 내용 관련 준비 



https://academy.orbi.kr/event/19  


강남X신촌 오르비 친절한 입시 설명회







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