평균값정리의 의미, 활용하는 상황에대해 질문입니다..

Question

미분파트에서 수리논술준비하는데.. 따른것들은 이해가 가는데 평균값정리쪽에서 이해가 도저히 안가서 질문을올립니다.
질문 1. f(a+h)=f(a)+hf'(a+세타h) 단 0이식을 수능칠땐 정석에서 한번본기억이있긴한데.. 여기서 h가 매우 작아진다면 평균값의 정리가 유도되는건 알겟는데요...
강의하실때 sin을 예로 드셧거든요? 삼각함수표 이야기하시면서 f=sin이라하고 sin0.01의 예로 드셧는데요
sin0.01=sin0 + 0.01f'(0) 요 의미인것같아요,...(제가이해한것으론) 따라서 sin0.01=0.01이라고 하셧는데.. 요기서요
왜 f'(0)인가요..? 분명히 h=0.01로 잡으셧는데.. 그냥 0과 비슷하다고 본것인가요???
2. 그래프를 그리시고 접선을 그으신후에 접점과 가까울땐 y값이 비슷비슷하다 하지만 접점과 멀다면 그 차이는 비슷비슷하지 않다 따라서 원래함수와 접선과의 y값의 차이가 크다면
이댄 이계도 함수가 지배한다... (흐흐흑 여긴 무슨소린지 모르겠음..) 이게 무슨소리일까요...
3. 평균값의 정리는 즉 델타x(오차) 가 얼마나 차이나나에 따라 쓰는거다 즉 함수값의 근사적 추정에 관한것이다 라고 하셧는데..
그니까 이말뜻은 h가 작을때 즉 함수값과 접선값의 차가 매우 작을때 쓰는거다! 라는 건가요???
흐.. 어렵네요 부탁드려요~

sos440 · Accepted Answer

평균값 정리는 근사식이 아니라 정확한 식입니다. 기하학적으로 보면 미분가능한 함수의 평균기울기는 그 그래프상의 어떤 지점에서 실제로 순간기울기로 나타난다는 뜻으로 일차적으로 이해할 수 있습니다.

그러나 그보다도, 평균값 정리는 주어진 함수를 좁은 영역에서 다항식으로 근사시킬 수 있는 기반을 마련해줍니다. 예를 들어서 x=a 에서 함수 f(x) 는 평균값 정리로부터 (x와 a 사이의 어떤 c에 대하여)

f(x) = f(a) + f'(c)(x-a)

로 적히는데, 이는 x가 a와 가까울 때 실제로 f(a)와 f(x)가 얼마나 차이나는지를 정량적으로 알려준다는 것을 알 수 있습니다. 도함수의 연속성까지 가정한다면 x와 a가 가까울 때 f'(c)를 근사적으로 f'(a)로 생각할 수 있으므로, 우리는 '근사적으로'

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)

를 얻습니다. 사실 잘 생각해보기면 위 식의 우변이 접선의 식의 됨을 알 수 있으며, 이로부터 접선은 주어진 함수를 주어진 점 근처에서 일차식, 즉 직선으로 가장 잘 근사했을 때의 그 식임을 알 수 있습니다.

하지만 두 번째 식은 분명 근사식이며, 그 오차는 x와 a의 차이가 커질수록 일반적으로커지게 될 것입니다. 하지만 함수에 더 좋은 성질을 주면 그만큼 고차다항식으로 근사할 수 있음이 잘 알려져 있습니다. 이것이 바로 그 유명한 테일러 정리이지요. 증명없이서술만 하자면, f가 n+1번 미분가능하고 그 n+1계 도함수가 연속일 때,

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!

을 만족하는 c가 x와 a 사이에 적어도 하나 존재합니다. 즉 위 식은 주어진 함수를 n차다항식으로 근사하는 방법을 알려줍니다. 한편 함수가 무한히 미분가능하고 저 오차항이 n이 커짐에 따라 0으로 수렴하면, 우리는 소위 테일러 급수라고 하는 무한급수식을 얻습니다.

폐인.. · Answer

예를 들자면 2011 설대 수리논술에 적용가능 ㅇㅇ

평균값정리의 의미, 활용하는 상황에대해 질문입니다..

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