이항정리질문

정의라고 생각하셔도 무방합니다. 편의상 nCk를 (n, k)로 적기로 하면

(n, k) = n(n-1)…(n-k-1)/k!

이 성립합니다. 이제 위 관계식을 이용해 (n, k)의 정의를 n이 음수인 경우까지 확장해봅시다. n = -m < 0 이라고 하면,

(n, k)
= n(n-1)…(n-k+1)/k!
= (-m)(-m-1)…(-m-k+1)/k!
= (-1)^k (m)(m+1)…(m+k-1)/k!
= (-1)^k (m+k-1, k)
= (-1)^k (k-n-1, k)

이 됩니다. 참고로 0 이상의 정수 n과 k에 대하여, n < k 일 때 (n, k) = 0 으로 정의하면 (이 또한 위의 식과 일맥상통합니다), 임의의 정수 n과 |x|<1 에 대하여 다음과 같은 일반화된 이항정리(generalized bionmial expansion theorem)

(1 + x)^n = (n, 0) + (n, 1)x + (n, 2)x^2 + (n, 3)x^3 + …

이 성립합니다. 예를 들어서 n = -1 이면

(n, k) = (-1, k) = (-1)^k

이므로

1/(1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...

이 성립하여야 하며, 이는 우리가 잘 아는 무한등비급수 공식과도 일치합니다.

(사실, 일반화된 이항정리는 임의의 복소수에 대해 성립합니다. 예를 들어서 i가 허수단위이면, (1+x)^i = 1 + ix + i(i-1)x^2/2 + … 등이 성립하지요.)

증명이 의외로 간단했네요.. 이걸 왜 생각 못 했지? -_ 감사합니다.

그래서 {1/(1-x)}^m=Σ(k=0에서 무한대까지) mHk*(x^k) 이라는 일종의 중복조합 이항정리 비슷한 식을 얻죠..
여기서 x=1/2라면 2^m이 답 뭐 이런식