치환적분 일대일대응 질문

Question

인테그랄 f '(g (x))×g'(x) dx 가 적분구간이 a > b (부등호아닙니다)라고 했을때

g (x)=y라 두면 g'(x) dx 는 dy가 되고

dy × f'(y)는 d f (y) 잖아요

따라서 g (x)=y 라 두고

g (a)= A g (b)= B 라 두었을때

결국 처음의 정적분식이 인테그랄 A에서 B까지 f'(y)dy 가 되잖아요

근데 여기서 찝찝한 부분이 있습니다

우선 처음에 말했다시피 처음의 정적분 식에서

x값을 임의로 적분구간내에 하나 x=C라고 잡아서 정적분 식에다 x=C 일때

f'(g(x))×g'(x) dx 의 값은 f'(g (C))×g'(C) dx 가 되고

g(C)= c라 하면 결국 f'(c)dy의 값이 되는거잖아요

(물론 한점을 잡아서 값을 결정시키는거 자체가 낭설인것은 압니다만

구분구적법 논리?로 그냥 겁내 조그마한 네모 넓이를 잡았다고 생각해주세요)

근데 처음 정적분 식에서 적분구간 a에서 b까지 변해갈때

g (x)=y 가 일대일 대응이 아니라면, y=g (c)가 여러번 나올테고 (안나올수도있지만 나온다고 칩시다)

그러면 결국 처음 정적분식의 값을 보면 f'(c)dy가 여러번 더해지게 되고

그렇게 되면 인테그랄 A에서 B까지 f'(y)dy 라고 식을 변형시킨 값보다 처음 정적분값이 넓이를 더많이 더했기 때문에 둘의 값이 다르지 않을까요?

그리고 이런 오류가 나온이유는 일대일대응이 아니어서 아닌가요?

제 논리에 오류좀 잡아주세요~

사천짜파게티 · Accepted Answer

충분히 고민할 수 있는 내용이라고 생각 됩니다만약에g’(x)dx=dt라 하고g(x)가 증가했다가 감소하는 함수라 친다면,증가할땐 g’(x)dx가 양수이지만감소할땐dt가 음수가 나와요뒤로 돌아가는 만큼 더해지지 않고 빼지게 됩니다.(0,pi)에서 g(x)=sinx 라 한다면,적분 범위는 0부터 0까지가 됩니다 그럼 정적분값이 무조건 0이 됩니다.이상한데 생각을 해보면x가 0부터 pi/2를 찍고 pi가 되는 동안g(x)가 0이 1찍고 0으로 돌아옵니다근데 f(g(x))는 f(0)찍고 f(1) 찍고 다시 f(1)로 돌아옵니다f’(x) 관점으로 보면 x를 0에서 1까지 적분하고 다시 1부터 0까지 적분하는게 됩니다

치환적분 일대일대응 질문

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