이 문제 어떻게 푸는거죠?

Question

당신이 동전을 던졌을 때, 앞면이 나오면 1원을 받고, 동전을 다시 던져야 한다.

다시 동전을 던졌을 때, 또 앞면이 나오면 2원을 받고, 동전을 다시 던진다.

또 앞면이 나오면 이번엔 4원을 받고, 다시 동전을 던진다.

이런 식으로 계속 앞면이 나올 때마다 받는 상금의 액수는 2배씩 증가하고, 동전은 다시 던져야 한다.

단, 뒷면이 나오는 경우 이 게임은 중단되고, 1만원을 내야 한다.

이 게임에서 당신이 받을 수 있는 상금의 기대값은?

예전에 어디서 본 것 같은 문제인데 제대로 기억해 낸 거 맞는지도 가물가물하고...

지금 막 풀어보려고 했는데 어떻게 하는건지 헷갈리네요;

아 그리고, 푸신 분께 질문.

구한 기대값으로 판단할 때, 이 게임에 참가하는 게 참가자에게 유리할까요, 아닐까요?

Dandelin · Accepted Answer

확률변수가 2의 X승 꼴로 나와서 식을 잘 정리하면 이항정리로 풀수 있었을 거에요

Dandelin · Answer

근데 이 문제는 기댓값이 무한대가 나오네요? ;;

sos440 · Answer

기대값이 ∞대가 나오는 것이 맞습니다. 하지만 이 게임이 현실에서 이루어지는 것이라면, 시간적인 한계상 이 게임을 시행할 수 있는 최대 횟수 N이 존재할 것이고, 그 경우

E(X)
= 1 * (1/2) + 2 * (1/4) + ... + 2^(N-1) * (1/2^N) - 10000 * (1 - 1/2^N)
= N/2 - 10000 * (1 - 1/2^N)

이 됩니다. 따라서 E(X) ≥ 0 이려면 N > 20000 이어야 합니다. 2만 번 이상 해야 평균적으로 본전을 찾을 수 있는 게임이라는 뜻이지요. 2만 1번 해야 겨우 평균적으로 1원 미만의 푼돈을 벌 수 있는 게임이라면, 어지간하면 안 하는게 좋겠지요 -ㅁ-

이 문제 어떻게 푸는거죠?

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