9평 나형 30번 이 풀이 오류 없나요?? 수학 고수님들 좀 도와주세요

Question

f(x)=k로 치환하면 f(k)=x => f-¹(k)=x=f(k).

가로축을 k로 두고 세로축을 x로 둔 삼차 함수와 k=x의 교점과 똑같은 x 값을 가지는 k값이 0,1,a,2,b.

그래프를 그려보면 가능한 경우는 f(k)-x= pk(k-a)(k-b)일 때밖에 없음을 알아낼 수 있음

f(x)가 삼차함수일 때 상수함수나 일차함수와의 교점의 x값의 합이 항상 일정하다는 것을 활용하면

0+a+b=1+a+2임을 알 수 있고 따라서 b=3임. 그리고 (0.0)과 (3,3), (1,a)와 (2,a)가 (a,a)를 기준으로 점대칭이라는 점을 활용해서 a가 3/2임을 알 수 있음

f(k)-x=pk(k-(3/2))(k-3)임.

f(k)=pk(k-3/2)(k-3)+x를 k에 대하여 미분하면 f'(k)=p{(k(k-(3/2))+k(k-3)+(k-(3/2))(k-3)}이 나오고 k에 0,1,2를 넣으면

f'(1)=-(3/2)p

f'(2)=-(3/2)p

f'(0)=(9/2)p

이런 값이 나옴.

f'(0)-f'(1)=6p=6이므로 f(k)의 계수 p가 1임을 알 수 있음.

f(k)=k(k-(3/2))(k-3)+x이고 k에 x를 넣었을 때 f(x)=x(x-(3/2))(x-3)+x가 됨을 알 수 있음.

x에 5를 대입하면 5×(7/2)×2+5=35+5=40.

∴f(5)=40이다.

시복짜리욜매 · Accepted Answer

컴퓨터로 그래프 그리는 방법을 몰라서 도중에 그래프 그려서 확인하는 방법 날려버린건 이해 부탁드립니다ㅠㅠㅠㅠ

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