수리 ♡가♡형 미분 그래프 그릴 때 생각해볼만한 문제.
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e^x/x^n 이 n이 무한데로 커져도 분자가 always 더 큰거에요?
e=2.8 이고 2.8의 x승한 지수함수가 x에 10억 승 한 다항함수보다 항상 더 커요?
어떻게 증명해요?
로피탈 말고 고교과정 안에서 증명 가능한가요?
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문제에 없엇떠염
문제 함 보내드릴까여? ㅋㅋ 좋은 문제였쑴 ㅎ
그거 교육청같은데보면 꼭 써주는데 지수함수가 그..그... 다항함수보다항상크다고
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28e%5Ex+%29-+%28x%5E1000000000%29+from+0+to+100
와우 이런거 첨보는데? ㅋㅋㅋ
걍 말로 설명해주삼 ㅋㅋ
ㅠㅠㅠ 저거 darveystar님이 묻는문제 그래프로그려본거 ㅠㅠ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28e%5Ex+%29-+%28x%5E1000000000%29+from+0+to+15
대충 직관으로 10정도만넣어봐도 엄청난증가..!
... 질문의 요지를 모르겠네요. 제 생각에는 x가 무한히 커질때
임의의 n값에 대하여
e^x/x^n의 값은 무한히 크다. 이걸 말하시는 것 같은데, 이거라면 증가속도에 관한 문제네요
일반적으로 다항함수의 증가속도는 지수함수보다 작습니다.
e^x의 테일러전개를 생각해보면 자명하겠네요
아 맞아요!
근데 테일러전개가 머에여?? ㅠㅠ
잉
http://goo.gl/dDo3s
x가 충분히 커지면 e^x는 임의의 모든 다항식보다 더 커질수있음.
자명한건 아니고.. 증명은 e^x를 급수형태로 표현해서 하는건데
증명하려면 대학미적분 급수쪽에서 배우는 몇가지 기초적인 사전 개념이 필요해서
고교과정에서 일반적인 증명은 안될듯.
고등학교 과정에서 증명 가능합니다.
우선, x가 양수일 때, 임의의 자연수 n에 대하여 e^x > 1 + 1/1! x^1 + 1/2! x^2 + ... + 1/n! x^n 이 성립합니다.
어떻게 증명할 수 있을까요? '임의의 자연수 n'에 대한 것이므로, 수학적 귀납법을 이용해 봅시다. 또한, 지수함수와 다항함수는 얼마든지 이용할 수 있으므로, 미분을 마음 놓고 이용할 수 있습니다.
i) n=1일 때 성립
n=1이면 e^x > 1+x이라는 것을 증명해야 하는군요. f(x) = e^x - 1 - x라 두면, x>0일 때 f(x)>0을 증명하는 것이 우리가 할 일입니다. 그런데, 이러한 형태는 많이 풀어 보았을 것입니다. f(0)=0이고, x>0이면 항상f'(x) = e^x - 1 > 0이라는 것에서, x>0이면 f(x)>0임을 얻습니다.
ii) n=k일 때 성립하면, n=k+1일 때 성립.
위와 비슷하게, 미분을 사용해 보도록 하겠습니다.
n=k일 때 성립하므로, x>0이면 g(x) = e^x - (1 + 1/1! x^1 + 1/2! x^2 + ... + 1/k! x^k ) > 0 이 성립합니다. 이제 h(x) = e^x - {1 + 1/1! x^1 + ... + 1/(k+1)! x^(k+1) }이라고 둡시다. 그러면 h(0)=0이고, x>0일 때 h'(x)=g(x)>0이므로, x>0일 때 h(x)이 성립합니다. 이에서 n=k+1일 때의 부등식을 얻습니다.
따라서, e^x / x^n > {1 + 1/1! x^1 + ... + 1/(n+1)! x^(n+1) } / x^n 인데, x가 한없이 커지면 부등식의 우변이 한없이 커짐을 알 수 있습니다. 그렇다면, x가 한없이 커지면 부등식의 좌변 e^x / x^n도 한없이 커질 수밖에 없습니다.
위의 과정에서, 임의의 자연수 n에 대하여 x가 한없이 커지면 e^x / x^n이 한없이 커짐을 알 수 있습니다. 그렇다면 x가 한없이 커지면 x^n / e^x는 0에 수렴하겠지요. 이런 극한들에 실수를 곱한 다음 더하면, 임의의 다항함수 p(x)에 대하여 x가 한없이 커지면 p(x) / e^x 도 0에 수렴한다는 것을 알 수 있으며, 역으로 e^x / p(x)는 양의 무한대로 발산합니다.
대박이네요..
한동안 넋 놓고 쳐다보기만 했어요..
진짜 대단하시다....
그저 존경스러울뿐...
모든 것을 저 혼자서 만들어 낸 것은 아니고, 여러 가지 책에서 공부했던 것들을 참고하여 만들어 낸 것이긴 해요 ㅇ_ㅇ