사람이 많아진듯 하니 다시 올립니다. 해설 포함

Question

처녀작이란 표현이 문제가 된다면 시정하겠습니다. 
f(x+y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y) , f(1)=3 을 만족하는 미분가능한 함수 f(x)가 있다. 
A = {0, 1, 2, 3} 에서 중복을 허락하여 세 수 a, b, c를 뽑았을 때,  
a + b + c 는 1보다 크거나 같고 5보다 작거나 같다고 한다. 
B = { n | af(1) + bf(2) + cf(3) + a + b + c = n }에서  n(B) = ? 
밑에는 스포일러성 글이니 풀어보실 분은 풀어보시고 내려보시길 바랍니다. 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
문제의 아이디어는 ebs 수능완성 적통 54p 8번 문항입니다. 
내용 영역 쪽으로는 수학 함수 단원과 수1의 지수로그 함수 or 교과서에는 없지만 4진법으로도 볼 수 있습니다. 
행동 영역 쪽으로는 식을 간단히 하는 계산능력, 수학적 표현을 교환하는 이해능력, 두 단계 이상의 사고과정이 필요한 수학 내적 능력을 평가하기 위한 문제입니다. 
1,5,20의 길이에서 4, 16으로 바꿔도 문제의 본질적 내용은 해치치 않는다는 점에 착안 
처음에는 4진법 문제로 제작 예정이었으나 진법이 교과서에 자세히 설명되어있지 않아서 
수1 지수 함수의 정의역이 정수일때, 각 함수값의 합이 진법과 유사한 형태를 갖는다는 점에서 
지수 함수를 이용하였습니다. 
보기의 함수는 간단한 함수방정식의 경우에 쉽게 파악하는 경향이 많아 살짝 꼬아보았습니다. 
함수를 파악한 뒤에는 간단한 경우의 수 문제로 풀 수도 있고, 4진법의 갯수 중 각자리 값의 합이 6이상인 것을 빼는 방법으로도 풀이가 가능하도록 출제했습니다. 
간단한 해설 + 수정이 필요했던 이유 
강남대성 학생들에게 검토를 부탁한 결과 문제가 산만하여 이해가 쉽지 않다는 의견 반영 
아직도 복잡하긴 합니다.. 제 한계.. 
또한 함수방정식이 미분가능한 함수에서 성립하므로 미분가능한 이라는 어구 추가 
+ 편미분 또는 미분계수의 정의를 이용한 풀이도 보였음 
+ 미분가능이라는 어구 없이도 문제를 해결할 수 있음, 점화식을 이용 발견적 추론을 통해 
sol) 위의 준식에 양변에 +1을 해주고 묶어보면 f(x+y) +1 = {f(x)+1}{f(y)+1} 이고, 
g(x) = f(x) +1 로 치환하면 g(x)는 지수함수임을 함수방정식을 통해 알 수 있습니다. 
f(1) = 3 을 이용하면 g(x)=4^x 임을 알 수 있고 
B의 조건 제시법의 식은 ag(1) + bg(2) +cg(3) 으로 변환이 가능하고, 
이때 a,b,c 는 4보다 작으므로 n의 값은 중복이 생기지 않습니다. 
4H3 에서 0,0,0 a+b+c>=6 인 a,b,c 를 빼주면 43가지가 나옵니다.

만만함 · Accepted Answer

문제는 아까 풀어봤으므로...다른 내용은 차치하고, 궁금한게 있는데

'함수방정식이 미분가능한 함수에서 성립'이라는게 무슨 말인가요 ㅠㅠ

나형 범위에서는 다룰 필요가 없는 개념인가요?

Dfine · Answer

해설이 포함되어서인지 밑의 글로 저를 밉게 보는 분이 많으신지 반응이 미적지근하네요 ㅠㅠ

코코아분말 · Answer

함수 저렇게 정리하는거 술술 할 줄 알아야 하나요? ㅠㅠ 가형인데 문제 저렇게 나오면 저렇게 정리 못 할 것 같음..

Dfine · Answer

가형이시면 편미분이나 미분의 정의로 정리하시고 푸는것이
나형이시면 점화식으로 놓고 발견적 추론으로 보는 것이 일반적이라고 생각하구요

사실 저 풀이는 지수함수의 함수방정식 꼴은 너무 눈에 익어서 살짝 꼬았기 때문에 어려울 수 있습니다.
그리고 부정방정식에서 정수조건이면 저런식 자주보여서 저 꼴도 익혀둘만합니다

논술의 관점에서는 저런풀이는 익혀두시면 많이 유리하구요

사람이 많아진듯 하니 다시 올립니다. 해설 포함

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