수2실력정석 곡선의 접선과 미분중에서...

Question

필수예제 9-5를 보시면 곡선 y=x^4-12x^2+16x 위의 서로 다른 두 점 P,Q에서 접하는 직선의 방정식을 구하여라..
해설을 참고했는데 (a, f(a)) (b, f(b)) 로 둔 후에 쭉쭉 내려가서 결국에 4a^3-24a+16=4b^3-24b+16 식과 -3a^4+12a^2=-3b^4+12b^2 이식 두개를 연립하라고
해서 연립을 햇는데 전 자꾸만 a와 b가 똑같이 나와요 ㅠㅠ(정석에는 a는 b와 다르므로 a^2=6으로만 나옵니다). 어떻게 해야 이렇게 나오죠 ? ㅠ

sos440 · Accepted Answer

a = b 이면 주어진 방정식이 당연하게(!) 만족됩니다. 그러니 주어진 식을 인수분해하는 과정에서 당연히 a - b 라는 인수가 등장하지요. 중요한 건 이 인수를 제외한 다른 인수를 찾는 겁니다. a ≠ b 인 상황에서

      -3a^4 + 12a^2  =  -3b^4 + 12b^2      and      4a^3 - 24a + 16  =  4b^3 - 24b + 16
⇔    3(b^4 - a^4) - 12(b^2 - a^2)  =  0      and      4(b^3 - a^3) - 24(b - a)  =  0
⇔    (b - a)(b + a){(b^2 + a^2) - 4}  =  0      and      (b - a){ (b^2 + ab + a^2) - 6 }  =  0
⇔    (b + a){(b^2 + a^2) - 4}  =  0      and      b^2 + ab + a^2 - 6   =  0

그러므로 두 가지 경우를 생각해봅시다.

1) b + a = 0 이면, b = -a 이므로 a^2 = 6 입니다.

2) b^2 + a^2 - 4 = 0 이면, ab = 2 이므로, 연립하면 a^2 = 2 이고 따라서 a = b 가 나와 모순입니다.

수2실력정석 곡선의 접선과 미분중에서...

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