행렬과 그래프 4점 자작문제 투척
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교과서하고 이것저것 기출 다시 공부하다가 공부이래 처음으로 문제하나 만들어봤는데 투척할게염..
문제난이도는 잘모르겠지만, 4점은 갈거라고 생각합니다
Q)꼭지점의 개수가 2n개인 도형이 있다.
이 도형을 행렬로 표현했을때, 행렬을 A라 하고, A^2의 성분중 대각선에 위치한 성분들이 모두 n이라고 하자.대각선->(a,a성분)
이때, 행렬 A의 (x,1) (x,2) ... (x,y) 성분을 각각 a1 , a2, ... , an 이고, (x,y은 자연수이며 범위는 2n까지=꼭지점)
a1+a2+..+an=Sn일 때, S2+S4+S6+...+S200을 구하여라 .(4점)
보충문제: 출제자는왜 S2+S4+S6 을 구하라고 했을까.. 그냥 a1+a2+.. 이런걸 물었을 수도 있는데.
즉 문제속에 숨겨진 특징을 찾아라
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표현이 좀 이상해서 문제가 무슨말 하는지 모르겠는데요;;
일단 두번째문장 (n.n )성분이라는 말은 바로 앞의 n과 연관이 없는듯한데 n이라고 했으니 바꾸셔야 할 것이고, 그 다음줄도 역시 n이라는 똑같은 문자를 써서 문제가 무엇을 묻는지 이해불가능합니다.
헉...죄송 수정할게요! ㅠㅠ 처음이라..
그런데 두번쨰문장 (n,n) 성분말고는 틀린게 없는거같아요
왜냐면, 행렬에서 꼭지점이 행과열을 정해주니까요...
세번째문장 an 나올때의 n은 위의 n과 연관이 있는건가요?
아;; 직접적 연관이 아니라 행과열이 2n까지니까
그중에서 n번쨰있는걸 n이라고 했는데 다소 모호했나요??
바꾸면 문제이해하기 더어려워질꺼같아서.. 첨이라 죄송해요..
an에서의 n은 일반항적인 요소로 봐주세요..
한가지만 더요; 이건 문제풀이랑 관련된 내용이라 비밀글로 처리했어요
ay(y값에 의해 변하는 값이니, 각 성분을 이렇게 표현하는게 더 좋은거 같습니다.)는 x와 y에 의해 변하는 값인데요, 그렇다면 x행의 모든 성분의 합이 Sy가 되는게 맞나요?
만약 그렇다면 A제곱의 a행a열 성분값이 n이므로, 각 꼭지점은 모두 n개의 꼭지점과 연결되어 있으므로, Sy= n=y/2이라는 결론이 너무 쉽게 나와서요;
또한 y=2n (n은 자연수) 니까, S2+S4+.... 이라고 한 것이 자연스럽게 되겠죠.
이런 의도가 맞나요?
y=2n 이 아닌거같아요 제가 이문제를 푸는데 핵심적으로 삼았던것은,
대각선이 n이 된다는 사실로부터 0 1 0 1 0 1 .... 2번쨰는 1 0 1 0 1 0 이렇게 무한반복되죠
그런데 제가 특정한 어떤 꼭지점에서 부터 시작하라! 라는 말이 없기에
첫행이 0 인지 1인지 알수가 없어요 . 즉 이문제가 깔끔하게 성립하기위해
0101이 반복되는 변의개수가 n개인 2n개의 꼭지점을가진 다각형을 주었고,
S2 S4 S6이라 칭한것은, 만약 어떤항에서 시작하면 0으로 시작하고, 어떤항에서 시작하면 1로시작하기에
문제 자체에 오류가 생겨버리게 되죠. 다만 어떻게 시작하든 짝수/홀수 규칙성으로
0과 1 이 반복되는구조이기에 0 1 0 1 이 되든 , 1 0 1 0 이 되든 S2n의 값은 변하지 않습니다
S2=1 이고 S4=2죠
즉 이문제는 개략적 n형태의 그래프를 그린후, 2n-1번쨰행과 2n 번쨰 행으로 케이스분류해서
푸는문제가 맞습니다만, 난이도를 약간 낮춰서 S2n으로 분류하면
케이스분류하지않아도 답이 같게나옵니다 그래도 케이스분류해봐야
답이 같단걸 확인이되죠
즉 Sy=n 이 됩니다 . 뭔가 잘못이해하신게 아닐까요?
따라서 S2n=n이고 답은 5050입니다
아 답은 맞췄습니다. 저도 위에 댓글에 헷갈려서 표현을 좀 잘못썼네요. y= 2n이 아니라 y= 1 2 .... 2n 이라 "Sy"는 틀린표현이고 S 2n이 맞는표현이겠네요.
푸는건 연결상태가 어떻게 되든지, 각 행의 총합인 S2n은 n이라고 문제에 주어졌으므로 그냥 바로 1+...+100 으로 풀었습니다.
네 ㅎㅎ 맞습니다~!
중간과정에 2n-1 번쨰 항과 2n 번쨰 항을 분리해서 생각해보셧으면 거의
제 의도에 완벽하게 다가가셧네요!!
올해 9월문제도 그렇고 이런사고를 요구하는 문제들이 기출문제에 자주있었죠 ^^