포카칩님이 내신 3차함수(핼) 문제 질문입니다.
게시글 주소: https://orbi.kr/0001682351
b=20-a 이면 f(x)는 연속함수가 되면서 f(f(x)) 는 연속함수로서 자동으로 x=2에서도 연속이 되는데요.
따라서 이문제의 답은 없습니다.
b≠20-a or x=2에서 불연속인 f(x)에 대하여 라는 조건을 빼먹으신건 아닌지요?
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다른 많은 분들이 답을 맞춰주셨는데도 불구하고 이렇게 문제오류를
지적한 것은 용감하다고 생각은 하는데요 문제에 오류 없어요
그리고 왜 자기멋대로 b=20-a라 단정합니까
lim t-> (20-a)+0 f(t) = lim t-> (20-a)-0 f(t) = f(b) 인 b가 2개이상이면 되니까
그래프상에서 x축과 평행한 직선을 그었을때 함수의 그래프와 교점이 2개이상되는 구간은
구간 [-3,1]이니깐요 20-a가 바로 이 구간내에 있으면 되겠죠 고로 a=19~23 답은 105
은 제 생각입니다
b=-1억, a= 1억+20 이면 ff는 x=2에서 연속입니다.
b=-1조, a=1조+20 이면 ff는 x=2에서 연속입니다.
즉 문제의 조건을 만족하는 b,a값들이라는 말입니다.
싸우고 싶진 않지만 말투가 좀 거시기하네요 -_-
어떤 자연수 a가 있으면, 그 자연수 a에 대하여 f(f(x))가 x=2에서 연속이 되도록 하는 실수 b의 값이 2개 이상 존재한다는 의미입니다.
말씀하신 a=1억+20이면, b는 -1억 말고는 더이상 연속하게 하는 경우가 없습니다.
어떤 자연수 a에 대하여, b의 값이 두개 존재해야 합니다.
좀 더 앞부분만 읽지 말고 문제를 끝까지 잘 읽어보면, f(f(x))가 x=2에서 연속이 되기 위한 실수 b의 값이 두개 이상 있을 때 이것을 만족시키는 자연수 a가 어떤 것이 있느냐를 묻는것이죠.
그런 의미에서 제 답이 맞나요? 리플달아도 확인 안해주셔서..
네 맞습니다.
엌 안주무시고 계셨네요.
포카칩님이 의도한것은 알겠지만.
제가 봤을 땐 문제 서술이 매끄럽지가 못한것 같습니다.
안그런가요? --;
음; 변수와 상수의 차이에 대해 이해가 부족하신거 같아요.
이 문제에서 a는 엄연히 상수입니다. 왜냐하면 f(x)라는 함수에서 x가 변수이기 때문입니다.
따라서 a는 "모르는 어떤 값"으로 생각하면, b의 값이 2개 이상 존재하도록 해야 하는데, b=20-a는 하나만 존재하는 것이죠.
제가 변수개념에 대한 이해가 부족한것같진 않네요.
f(x)에서 변수는 x가 맞지만
"f(f(x))가 x=2 에서 연속이 되게하는" 에서는 변수가 a,b 가 맞습니다.
여기서 "자연수 a에 대하여 ,b의 값이 두개 이상" 이라는 말이 붙음으로서 a가 독립변수,b가 종속변수가 되는것이지요.
님이 어떤식으로 문제를 받아들였는지 이해는 되지만 제가 이 문제를 읽었을 때 느낌은 그런 느낌이 아닙니다.
이 문제에 대한 그래프를 그려보시면 훨씬 문제 이해가 쉬워지실듯..
y=x^3+3x^2-a는 x=2에서 불연속입니다.
b=20-a에서 연속이 되는 점이 하나 존재하고, 구멍이 뚫리더라도 다른 점에서 f(x)는 x=2에서 불연속이지만 f(f(x))가 x=2에서 연속이 되도록 하는 b의 값이 하나 이상 존재한다는 의미로 해석하시면 될 것 같아요..
제 뜻은 다 전달된거 같아요..
제가 이문제를 읽었을 때 느낌은
x=2에서 연속이기 위한 (a,b)의 순서쌍이 2개 이상이다. 였습니다.
서로 뜻은 다 전달된거 같네요.ㅎㅎ
혼란을 줘서 죄송해요.
좀 더 분명하게 출제의도를 보였어야 했는데 워낙 오래된 문제라 ㅋ;
어이쿠 죄송하다뇨 ;; 천만에요.ㅋ
아 정정, 세번째 줄에서 어떤 자연수 a에 대하여, b의 값이 두개 "이상" 존재해야 합니다.
네 저도 그렇게 바꿔야지 의도에 맞게 서술이 된거라고 생각했습니다.
ㄴㄴ 그 제 첫리플의 세번째 줄을 정정하겠다는 의미입니다.
어떤 자연수라는 언급이 없어도 이 문제에서 a, b는 가변적이지 않은 것으로 보아야 합니다.
문맥을 어떤 자연수라는 말을 붙이면 조금 더 매끄러웠으리라 생각은 합니다.
사실 작년부터 수백명이 풀었던 문제여서 그래도 대다수는 잘 푸셨을듯 해요.
이게 의도된 건지 아닌지는 모르겠는데요, 고등학생이 다루기 조금 난해한 부분이 있네요.
오류까지는 아닙니다.
합성함수는 굳이 오목 볼록까지 가지 않더라도
일반적인 고등학생이 다루고 이해하기가 조금 그런 부분이라고 생각합니다.
저도 실제로 고등학교 과정 공부하면서 이 부분을 깊이 다뤄 볼 기회도 거의 없었던 거 같네요.
일단 계산이나 논리가 너무 자주 복잡해져서...
lim t-> (20-a)+0 f(t) = lim t-> (20-a)-0 f(t) = f(b)
이 과정을 도출할 때에 주어진 함수의 좌우극한은 항상 같으니 그냥 좌극한 우극한 묶어서 생각할 수 있고
lim_{t-> 20-a} f(t) = f(b)까지 나오고요.
여기서 x^3 + 3x^2 - a = g(x) 라 하면 이 함수는 연속이니
g(20-a) = f(b) 라는 식까지가 나오죠
여기서 f(b)를 g(x)로 표현해 주어야 위에 clockwise 님이 쓰신 풀이를 적용할 수가 있는데요.
f(x)가 항상 g(x)와 같은 것이 아니기 때문에 경우를 다음과 같이 나누어야 하죠.
그림으로 보았을 때 왜 나눠야 하는지는 지금 머리로는 이해가 되는데
밤을 새 가지고 너무 졸려서... 손으로 잘 안나오네요.
밑에 지저분하게 쓴 걸 읽어 보시면 뭐가 어떻게 되는지 다들 자연히 아시리라 봅니다.
뭐 제가 쓰기 전에 이미 아셨을 수도 있고요
1) 모든 가능한 b값의 집합에 2를 포함하지 않는 a에 대하여
이 경우에는 clockwise 님이 쓰신 것을 그대로 활용해도 되겠네요.
2) 가능한 b값의 집합이 2를 포함하는 a값에 대하여.
가능한 b값들 중 하나를 2로 가지는 a값들은 다음 식을 만족하는 모든 a값입니다.
g(20-a)=2
그 값이 실수라면 1개 혹은 2개, 그도 아니면 3개가 존재하겠죠.
여기서는 대충 치환해서 보니 3개가 존재하는 것 같네요. 그것을 a1, a2, a3이라고 하겠습니다.
a1의 경우에 대해 조건을 만족하는 b값이 몇개나 존재하는지를 살펴본다면
i) g(20-a1)=f(b) 에서, 일단 앞의 전제에 따라 b=2인 경우가 가능합니다.
ii) 그리고, b가 2가 아닌 경우를 살펴본다면 g(20-a1) = g(b) 를 만족하는 b값이 있겠죠.
해당 식을 만족하는 b값은 세 개 존재합니다.
20-a1, 20-a2, 20-a3 이렇게요.
따라서 이 때의 a1이 만들어내는, 조건을 만족시키는 b의 집합의 원소는 2개 이상입니다.
a1이 자연수이기만 하다면 해답 중 하나가 됩니다.
여기까지만 읽으신다면 이 경우에는 1번에서 구한 범위 안에 a1, a2, a3이 들어가기 때문에 이상한 점을 찾으실 수
없을 공산이 큰데요, 이제부터 제가 생각하는 문제점을 쓰겠습니다.
만약에 함수가 다른 형태로 잡혀서 g(20-a)=2 의 근이 단 한 개밖에 나오지 않는다고 생각하고
이 때의 a 값을 역시 a1이라고 합시다. 이 때 a1은 1번과 같은 과정으로 구한 범위 안에 포함되지 않습니다.
하지만 a=a1 일 때의 상태를 2번과 같은 방법으로 생각해 본다면
a=a1 일 때 조건을 만족하는 b값은 b=2 와 b=20-a1 두 개입니다. 따라서 18이 아닌 자연수이기만 하다면
해답 중 하나가 됩니다.
여기까지 g(20-a) = 2 의 근이 두 개 이상일 때와 한 개일 때의 경우에 답을 구하는 과정이 다르다는 사실을
설명했구요.
문제를 머릿속에 쭉 그려서 답을 내는 과정에서 아 분명히 이거 일이 복잡해지는 포인트가 하나 있을 수밖에 없다
그 생각을 하긴 했는데 실제로 결론을 내는 데까지 꽤 오래 걸렸네요. 그 점이 좀 의아스러웠습니다.
과연 이게 정말로 의도된 부분인가 하고요.
문제를 완벽하게 이해하고 해결한다면 필연적으로 b=2일 때를 고민할 수밖에 없습니다.
b=2라면 f(f(b))를 g(b) 라고 말할 수가 없기 때문이죠. 그런데 그 때의 해답에 대해 고민하는 과정이
수능 문제라고 보기엔 너무 복잡합니다. 그리고 설사 윗 과정을 파악하고 아, 이 경우에는
b=2를 해집합으로 가지는 a의 경우를 따로 계산하지 않아도 되지 않을까 라고 생각했다 하더라도
문제를 완벽하게 풀기 위해 거쳐야 할 과정이 하나 더 남아 있는데요
첫번째로는 g(20-a)=2 를 만족하는 a값이 자연수가 아님을 보이거나
두 번째로는 g(20-a)=2 의 근이 하나가 아니라는 것을 보여야 합니다.
둘 중 하나라도 만족이 되면 답을 구하기 위해 복잡하게 생각하지 않고
clockwise 님의 풀이대로 바로 접근할 수 있네요.
하지만 여기서 테크닉 없이 둘 중의 하나라도 계산을 하려면 20-a의 3승을 포함한 복잡한 방정식을 정리한 후에
그 방정식의 실근이 대략적으로 어떻게 되는지를 보아야 합니다.
(실제로는 20-a를 t로 치환한 후에 방정식을 정리하고 남은 a를 20-t로 다시 바꾸어 놓으면
t가 정수값이 아니고 근이 3개이기 떄문에, a도 정수값이 아니고 근이 3개가 되기는 합니다.)
과연 이 부분을 논리적으로 묻고 있는 문제인지, 아니면 위와 같이 단순하게 직관을 묻는 문제인지가
궁금하네요.
전체적으로 사람들 수준이 높은 오르비에서 수백 명이 풀었다는데 제가 잘못 생각하고 있을 가능성도
배제를 할 수가 없네요. 이와 같은 질문이 한 번도 나오지 않았나요?
노트에 필기로 정리를 깔끔하게 하고 그림으로 다시 보니까 그림으로 생각하면 과정이 조금 더
간단해지기는 하네요.
와 멋있다...