미분 관렴 문제 투척합니다 ㅎ 가르쳐주세요
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문제는 아주 유명한(?) 문제인데요
[함수 y- asinx + 2x의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 45도 회전시켜 얻은
곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 y=f(x)의 그래프가 되는 실수 a의 값의 범위를 구하여라.]
입니다.
제가 현재 공부하고 있는 실력 정석 수2 13단원 방정식-부등식과 미분의
연습문제 13-27번으로 수록된 문제이기도 합니다.
y=f(x)에 대해 아는 것이 아무것도 없기 때문에
역으로, y=f(x)를 원점을 중심으로 음의 방향으로 45도 회전시켜
얻은 함수가 y=asinx+2x라고 봐야 한다고 생각했습니다.
다행히 이 접근까지는 맞았구요.
그 이후에는 하루가 지나도 풀이에 진척이 없어서
해설을 잠깐 참고하니깐
y=f(x)에서의 좌표축(x축과 y축) 또한 -45도 회전시키더라구요.
그렇게 되면 y=f(x)에서의 두 직선 y=-x가 y=asinx + 2x의 x축, y=x가 y축이 되죠.
근데 저는 y=f(x)를 기준으로 하는 좌표축에서
y=asinx + 2x가 함수가 되어야 한다고 생각했는데
해설은 좌표축 또한 회전시켜서
y=asinx + 2x의 축을 새롭게 만들어서 풀던데
왜 그런건가요?...
본질이 이해가 안 가니깐 문제 풀이도 딱히 이해가 안가고 진척이 없네요 ㅠ 도와주세요
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실력정석 수2 3번돌렷을때 매번 그문제 버렸던걸로 기억이 ;;;; ㅡ,ㅡ
질이 안 좋은 문제인가보네요 ㅋㅋㅋ
y = asinx + 2x 를 45도 회전시키나, 좌표축 전체를 -45도 회전시키나 같은 상황이지요. 그리고 어느 것이 더 쉽냐고 묻는다면, 단연코 좌표축을 회전시키는 것이 더 쉽습니다. 이 접근법을 사용하면 원래 곡선의 성질을 모두 이용할 수 있으니까요.
감사합니다. ㅎ 지금 질문드린 문제에서는 원래의 곡선의 성질 모두를 이용할만한 성질은 제시되어 있지 않으니깐 그냥 함수가 일 조건으로만 풀면 되는 건가요?
(1) 주어진 곡선이 어떤 함수의 그래프가 될 조건이 무엇인지를 생각해보세요. 기하학적으로, x = k 라는 각각의 직선이 주어진 곡선과 최대 한 점에서만 만나야 한다는 것을 쉽게 깨달을 수 있습니다.
(2) 이제 좌표축을 회전시킨 것으로 이해하면, 이는 y = x + k (단, 위의 k와 지금의 k는 무관함) 라는 직선이 y = asinx + 2x 와 단 한 점에서만 만나야 한다는 것과 동일한 이야기임을 알 수 있습니다.
(3) 어떤 k에 대하여 y = x + k 와 y = asinx + 2x 가 두 점 이상에서 만난다고 합시다. 이때 그 두 점 사이에서 y = asinx + 2x 와 y = x + k 가 완전히 일치하지 않으므로, 평균값 정리로부터 y = asinx + 2x 는 순간기울기가 1보다 큰 지점과 1보다 작은 지점 모두를 갖습니다.
반대로, y = asinx + 2x 가 순간기울기가 1보다 큰 지점과 1보다 작은 지점을 모두 갖고 있다고 합시다. 그러면 y = asinx + 2x 의 순간기울기가 1이 되는 지점이 있고, 그 지점 근처에서 함수의 증감을 통해 y = asinx + 2x 와 적당한 y = x + k 가 두 점 이상에서 만나게 할 수 있음을 알 수 있습니다.
(4) 그런데 y' = acosx + 2 로부터 y'(π/2) = 2 이고, 이는 y' 가 항상 1 이상이어야 한다는 조건으로 바뀝니다. 따라서 2 + a ≥ 1 과 2 - a ≥ 1 이 동시에 성립해야 하므로, 1 ≥ a ≥ -1 이어야 합니다.
죄송합니다. 항상 친절하신 답변에 감사드리지만
제가 부족해서 이번 해설 답변 중 (3)과 (4)번은 이해가 잘 안 갑니다
이해가 가더라도 제가 생각하고 있는 내용이 sos님께서 설명해주시려는 부분과
일치한 것인지도 확신이 없구요 ㅎ
부가 설명으로 이해 좀 도와주시길 부탁드립니다.
(3)에서 "곡선과 직선이 두 개 이상의 점에서 만난다" <=>(동치)
"곡선y의 순간기울기(도함수 y')이 1보다 큰 지점과 작은 지점 모두를 갖는다."
는 내용과 그 증명은 이해는 갑니다만,
왜 이 내용이 풀이에 필요한건가요? 어떤 점으로 풀이에 쓰이는지....
혹시, 위 증명 내용의 "대우"에 의해서
순간기울기가 1보다 큰 지점과 작은 지점 모두를 갖게 되면 반드시 교점이 2개 이상이므로,
순간기울기는 항상 1보다 크기만 하거나,
아니면 항상 1보다 작기만 하는
둘 중에 하나여야 한다는 걸 이끌어 내는건가요?
그래서 (4)의 풀이에서 순간기울기(도함수)는 항상 1보다 크거나 항상 1보다 작아야하는데
x=π/2에서의 순간기울기 =2로 1보다 크기때문에
순간기울기는 항상 1보다 커야한다는 조건이 선택되어지는 건가요?
그리고 (4)번에서 왜 도함수 y'이 항상 1이상인가요?
1보다 커야(등호를 뺀, 즉 초과해야)만 하는거 아닌가요?
y'이 1이상이어야한다고 하니 a의 부등호에 당연히 등호가 포함되어 있는데.....
그리고 등호가 성립이 되는 곳은 연결되지 않고, 유한한 한 점에서만 이겠죠?
다 제대로 이해하셨는데, "1보다 큰 값과 작은 값을 모두 가진다" 의 부정은 "항상 1 이하이거나 항상 1 이상이다" 가 되지요. -ㅁ- 그리고 이 단계에서 이것을 잡아내지 못했다고 하더래도, 경계가 되는 경우는 직접 그 경계에 놓이는 a값들이 실제 (2)번의 테스트를 통과하는지 검사해 보면 됩니다. -ㅁ-
아 맞네요 ㅡㅡ 죄송합니다 ㅎ
명제의 대우를 통해 부정을 할 때... 빼먹었네요 죄송합니다 ㅋㅋㅋ
근데 명제의 앞부분인 '곡선과 직선의 교점이 2개이상이다'를
명제의 대우를 통해 부정을 하면
'교점이 2개 미만이다', 즉 교점이 1개 또는 0개라는 말인데.
이것은 명제의 대우에서 무조건 하나의 교점만을 가진다고 라고 할 수 없는거 아닌가요?
"0개, 즉 교점이 없는 경우"를 제외시킬 수 있는 풀이의 근거는 무엇인가요?
그리고 a=1일 때나 순간기울기가 1인 점은 불연속의 유한개의 점일 때만 있는거죠?