미분 문제 하나 투척합니다 ㅎ
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문제는
수학의 정석 실력편 수2
13.방정식-부등식과 미분
연습문제 13-21번으로
[a>0일 때, x에 관한 로그방정식 x lna = a lnx 의 해의 개수를 조사하여라] 입니다.
처음엔 식을 간편하게 해서 풀기 위해
(lna)/a = (lnx)/x로 정리하여 상수함수와 곡선인 함수의 교점의 개수를 구하는 걸로 풀었고,
다른 방법으로 풀고 싶어서
두번째 풀 때는, f(x) = x lna - a lnx로 놓고 풀었습니다.
도함수 f'(x) = lna - a/x가 되고
f'(x)=0에서 x = a/lna가 됩니다.
저는 여기서 x는 자연로그의 진수이므로 0보다 커야하고
a/lna도 정의역 중에 하나이므로 0보다 커야한다고 생각했습니다.
그래서 a>1 이어야 한다는 a에 대한 제한 조건이 나오게 되었습니다.
하지만,
첫번째 풀 때에는 나오지 않은 a에 대한 제한 조건이 나오고
문제의 답들 중에는 , 심지어 0<a=<1일 때 구한 답도 있습니다.
이에 비추어 봤을 때,
a<1이라는 제한 조건이 없는게 맞는데 왜 이럴까요?
뭐가 잘못된 걸까요.
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a/lna 가 항상 0보다 큰가요?
x에 대한 로그방정식이라 진수조건에 의해 0보다 커야한다고 생각했었습니다. 꼭 그럴 필요는 없는건가요?
전혀 그럴 필요가 없습니다. a ≤ 1 이게 되면 f'(x) = 0 의 해가 없어질 뿐입니다.
지금 질문하신 분은 f'(x) = 0 의 해가 있다고 가정했기 때문에 그런 제한 조건이 나오는 것이지만, 문제 어디를 봐도 f'(x) = 0 의 해가 있어야 한다는 조건은 없습니다.
이번에도 SOS님이 해결해주셨네요 ㅠㅠ 감사합니다