일차변환과 행렬 질문드립니다.
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대략 문제가 이렇습니다.
해설을 보면 명쾌하게 이해가 갑니다만, 제풀이에서 왜 답이 안나오는지 궁금해서 질문드립니다.
저는
그런데 이렇게 놓고 풀어보니 만족하는 b와 d의 값이 없는겁니다 ㅠ.ㅠ
해답풀이에선
A(1,0) = (0, -1) 이므로
A^2(1,0) = A(0, -1)
(0, 1) = A(0, -1) (기억력에 의존해서 쓴 것이라 답이 틀릴수도 있습니다.)
따라서 답은 (0,1) 이었는데요.
왜 직접 구하면 답이 없는 것인가요?
제가 뭘 착각하고 있는 걸까요? 알려주세요 수학의 신님들
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그건 S.EㆀY_현쓰 님이 직접 계산을 통해 확인하셨듯이, 실제로 주어진 조건을 만족시키는 A가 존재하지 않기 때문입니다. 즉 문제 오류입니다.
다른 방법으로 그러한 A가 존재하지 않음을 보이는 방법으로는 행렬식을 이용하는 방법도 있습니다. A^2 = {{0, 1}, {1, 0}} 이므로, 양 변에 행렬식을 취하면 det(A^2) = -1 이 됩니다. 그런데 det(AB) = det(A)det(B) 이므로, det(A^2) = (detA)^2 이고, 이는 (detA)^2 = -1 임을 뜻합니다. 그런데 A의 모든 성분은 실수여야 하므로, detA 도 실수이고, 이는 (detA)^2 ≥ 0 임을 뜻합니다. 모순이지요!
이 논리는 기하학적인 의미로 바꿀 수 있습니다. 평면에 임의의 소용돌이가 주어져 있다고 합시다. 이때 역변환을 갖는 임의의 일차변환은, 이 소용돌이의 방향을 항상 유지하거나 혹은 항상 뒤집습니다. (그리고 각각은 det > 0 과 det < 0 에 대응됩니다.) 그러므로 임의의 일차변환 A에 대하여 A^2 은 반드시 회전방향을 유지시키게 됩니다. (유지→유지하거나 뒤집고→다시 뒤집고니까요. 혹은 행렬식으로 말하자면 (det)^2 > 0 이니까요.) 그런데 잘 생각해보시면, 행렬 {{0, 1}, {1, 0}} 에 대응되는 일차변환은 반드시 회전방향을 뒤집습니다. (y = x 라는 선을 거울로 삼아 선대칭시키는 변환이니까요.) 따라서 모순이지요.
요즘은 문제집 아무거나 하나 털어보면 오류가 있는 문제쯤이야 얼마든지 쏟아지는 세상이니까, 자신의 풀이에 확신을 가지세요 =ㅁ=
답변 감사합니다. 별것도 아닌걸로 혼자 2시간 동안 헤맸네요-_-;