간단한 함수의 극한 질문

Question

억지로 끼워 맞추면 해설 할 수 있을 것 같은데 , 친척 동생 같은 사람에게 설명해 줄 순 없을 거 같네요.
누가 이거 시원하게 설명해주실 분 계신가요?

페르라나미 · Accepted Answer

예.... 0분의 0꼴이면 반드시 수렴합니다.  f(x)가 x를 0으로 보내면 0이 된다는 건 0으로 수렴한다는 의미 즉 f(x)가 'x'라는 인수(?) 를 포함하고 있다는 거잖아요... 그러니깐 x분의 f(x)에서 f(x)의 인수 x가 나눠지고 나면 결국 무슨값인진 모르지만 a로 수렴하게 되는거죠./... 여기서 설명하는게 한계가 있어서...이해되세요 ㅠㅠ?

페르라나미 · Answer

예.... 0분의 0꼴이면 반드시 수렴합니다.  f(x)가 x를 0으로 보내면 0이 된다는 건 0으로 수렴한다는 의미, 즉 f(x)가 'x'라는 인수(?) 를 포함하고 있다는 거잖아요... 그러니깐 x분의 f(x)에서 f(x)의 인수 x가 나눠지고 나면 결국 무슨값인진 모르지만 a로 수렴하게 되는거죠./... 여기서 설명하는게 한계가 있어서...이해되세요 ㅠㅠ?

sos440 · Answer

페르라나미 // 0분의 0 꼴이면 반드시 수렴한다니요, 그런 위험한 소리를 하시다니... -_- 이 문제가 특별하게 셋팅되어있어서 가능한 겁니다.

그러므로 일단은 그런 것이 가능하다고 가정하고 푸셔도 문제 없습니다. (혹은 다른 식으로 말하자면, 어차피 값을 구하는 문제이므로 일단 모든 것이 잘 되는 좋은 함수를 생각하고 푸셔도 상관 없다는 것입니다.)

물론, 이 문제의 경우 f(x) / x 가 1/3 으로 수렴함을 증명할 수 있습니다. 편의상

g(x) = x^2 + 2x
h(x) = f(x) - x

로 둡시다. 그러면 문제 조건에 의해 h(x)는 x→0 일때 0으로 수렴하며, {g(x) - h(x)} / {g(x) + h(x)} 가 2로 수렴합니다. 이제 {g(x) - h(x)} / {g(x) + h(x)} = j(x) 로 두면

h(x) = (1 - j(x)) g(x) / (j(x) + 1)

이고, 따라서

f(x) = x + (1 - j(x)) g(x) / (j(x) + 1)
= x + (1 - j(x)) (x^2 + 2x) / (j(x) + 1)

입니다. 이제 양 변을 x로 나누면

f(x) / x = 1 + (1 - j(x)) (x + 2) / (j(x) + 1)

이고, x→0 일때 j(x) → 2 이므로, 위 식은

1 + (1 - 2) 2 / (2 + 1) = 1/3

으로 수렴합니다. 따라서 f(x) / x 가 1/3 으로 수렴함이 증명됩니다.

완전수 · Answer

sos440 님의 놀라운 방법을 이용하는 것도 좋은 방법이기는 합니다만, 착안하기가 다소 어려울 수 있을 듯 보입니다.

( 3x + x^2 - f(x) ) / ( x + x^2 + f(x) ) 를 -1 + ( 4x + 2x^2 ) / ( x + x^2 + f(x) ) 으로 변형하여(분자에서 f(x)를 없애려는 의도) 풀이를 진행하면,

극한의 기본 성질만으로, f(x) / x 의 극한을 구할 수 있습니다.

간단한 함수의 극한 질문

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