고난도 적분문제 yoonael? 님 모의고사문제입니다.

Question

이렇게 풀어도 되긴하는데 계산이 좀 많이복잡해요.   어떤분들이 부피로 푼다고 하시던데.. 어떻게 푸나요?,

쳇바퀴 · Accepted Answer

f'(x)에서 y축을 회전축으로 하는 원판모양이 y=1~0까지 그려져요 
k/n을 반지름으로 하고..  중괄호 안은 높이의 음수값을 갖는데 y의 범위가 1→0으로 가니까 양수로 바뀌구요

그럼  부피 계산만 하면 되는데 먼저 y=sinx로 부피 구하고 2/pi곱해주면 더 빨리 계산되네여(y축으로 pi/2배 확대, x축으로 2/pi배 축소)

쳇바퀴 · Answer

근데 계산 짜증나는건 마찬가진듯;;ㅠ

Pac.it · Answer

그풀이맞는데요.

sos440 · Answer

교육과정 풀이는 아니지만, 리만-스틸체스 적분으로 풀면

α = ∫_{from 0 to 1} x^2 df'(x)
= [x^2 f'(x)]_{from 0 to 1} - ∫_{from 0 to 1} 2xf'(x) dx
= [-2xf(x)]_{from 0 to 1} + 2 ∫_{from 0 to 1} f(x) dx
= -2 + 2 ∫_{from 0 to 1} sin(πx/2) dx
= -2 + 2 [-(2/π)cos(πx/2)]_{from 0 to 1}
= -2 + (4/π)

따라서 10π(α+2) = 40 입니다.

뭐, 사실 ∫_{from 0 to 1} x^2 f''(x) dx 를 고려하는 거랑 차이는 전혀 없긴 하지만, 뭔가 더 깔끔해보이는 효과가 있지요 ㅇ<-<

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