★ 비루한 문과생 미분 문제 하나만 풀어주십셔 ㅠ

Question

부등식 x^4 >= 4kxㅡ3 이 항상 성립하도록 하는 실수 k값의 범위는 ?

이건데요 .;

구체적으로 설명하기 좀 그러시면

푸는 메카니즘같은거라두 알려주세요~

쏙군 · Accepted Answer

주어진식의 의미를 해석해보면 방정식은 함수로 표현될수 있다는거 아시죠?? 좌변하고 우변 그래프 각각 그려보시면 좌변은 2차함수 개형인데  폭이 좀더큰 2차함수 개형으로 그려질거에요 우변은 정점이 (0,-3)이잖아요 그런데 이 정점을 지나면서 항상 근을 가지려면 접선밖의 기울기로 벗어나면 안되겠죠? 즉 접선일때가 최소한 교점이 생기는 조건이니까 4kx-3이 좌변과 접할때의 접선의 기울기 양수,음수일때 사이가 k의 범위가 되겠네요.
문과생이시라면 일일이 좌표대입하셔서 하시는게 낫겠네요. 이과 접선방정식에서 약간 야매로 풀때 접기=평균변화율 놓고 풀면 심플하게 풀릴때가 있는데 이문제는 그렇게하나 좌표일일이 잡으셔서 대입하시나 그게 그거일거 같네요.. 계산까지 해드리면 실력이 안느실거 같애서 풀이 발상정도 설명해드렸습니다^^

0.3mm · Answer

x^4 + 3 >= 4kx

y = x^4+3은 (0,3)을 지나면서 아래볼록인 그래프
y = 4kx는 원점을 지나면서 이를 중심으로 360도 돌릴수있는 그래프

k가 음수이고 접할때부터  양수이고 접할때까지  가 k의 범위입니다.

접점을 a라고 가정시
a^4 + 3 = 4ka (접점)
4a^3 = 4k (미분값 동일)

위 식 풀면 a = k = 1이고
따라서 -1<=k<=1 입니다

0.3mm · Answer

x^4 + 3 >= 4kx

y = x^4+3은 (0,3)을 지나면서 아래볼록인 그래프
y = 4kx는 원점을 지나면서 이를 중심으로 360도 돌릴수있는 그래프

k가 음수이고 접할때부터  양수이고 접할때까지  가 k의 범위입니다.

접점을 a라고 가정시
a^4 + 3 = 4ka (접점)
4a^3 = 4k (미분값 동일)

위 식 풀면 a = k = 1이고
따라서 -1<=k<=1 입니다

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