지나가던 나그네도 문제 하나 냅니다 ㅋㅋ 이번엔 대학문제 아님 ㅋㅋㅋ

Question

이차 정사각형 행렬 A에 대하여 A^4=E 면  A^2=E 또는 A^2=-E이다 .  yes or no ??

꾸몽 · Accepted Answer

yes

Taraki · Answer

No. 만일 행렬의 성분이 허수라면?
즉 iE라면??
이야기가 달라질 거라고 생각합니다.

그런데 행렬에 허수가 와도 되나..

ardour · Answer

틀린거가튼데... ㅜㅜ모르겠음

호댕호댕 · Answer

저번에 제가 질문했던건데 ㅋ 고딩과정에서는 맞아요... A,E로 이루어져있으면

sos440 · Answer

A의 성분이 실수이면 참입니다. 뭐 행렬의 성분이야 복소수가 와도 되고, 심지어 일반적인 수학에서는 가환환(commutative ring)이라고 하는 매우 일반적인 범위에서까지 다루긴 하지만, 그건 지금 전혀 필요없는 사족이고요.

어쨋든 설명의 편의를 위하여 다음과 같은 표기법을 도입하도록 합시다.

R = 정수의 집합, 유리수의 집합, 실수의 집합, 복소수의 집합 중 하나.
R[x] = R을 계수로 갖는 다항식들의 집합
M(R) = R을 성분으로 갖는 2차 정사각행렬들의 집합

그러면 다음 명제가 성립합니다.

[정리] A가 M(R)의 원소라고 하자. 그러면 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 1인 다항식 m(x) ∈ R[x]가 유일하게 존재한다.
(1) m(x)의 차수는 2차 이하.
(2) 임의의 p(x) ∈ R[x]에 대하여, p(A) = O 이면 m(x)는 p(x)를 나눠떨어뜨린다.

이제 R이 실수의 집합이라고 합시다. 그리고 A ∈ M(R) 이라고 하고, A^4 = E 라고 합시다. 그러면 위 정리를 만족시키는 어떤 2차 이하의 실계수 다항식 m(x)가 존재합니다. 그런데 우리는 p(x) = x^4 - 1 에 대하여 p(A) = O 임을 알고 있으므로, m(x)는 p(x) = x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) 을 나눠떨어뜨림을 알고 있습니다. 그러므로 m(x) = x^2 + 1 이거나, m(x) = x^2 -1 이거나, m(x) = x + 1 이거나, m(x) = x - 1 중 하나가 성립하여야 하고, 어떠한 경우에도 A^2 + E = O 혹은 A^2 - E = O 이 성립합니다.

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