미분에 대해 생각을 해본 것들인데요.. 질문입니다.
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저번에 dy/dx = dy/dt / dx/dt 가 수학적인 의미가 있는 것인지
아니면 단순 계산에 의한 결과인지에 관한 글이 있었는데
이것도 비슷한 질문입니다. 아래 내용들은 제가 올 초에 생각해본 것들이거든요.
'교과서에선 dy/dx가 dy를 dx로 나눈 것이 아니라고 하는데
왜 dy/dx의 계산 결과와 y를 x로 미분한 결과가 같은지'
의문스러웠기 때문이에요.
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'미분한다'라는 말과 '무엇에 대해 미분한다' 라는 말을 구분해보겠습니다.
일단 't를 미분한다'는 t 대신 t+dt를 대입한 값과 t를 빼는 연산(즉 t+dt 빼기 t)로 정의하고
'k를 t에 대해서 미분한다'는 k를 미분한 후 dt로 나누는 연산으로 정의합니다.
dt,dx,dy 등은 무한소입니다.
즉 dx = lim(x->0) x, dy = lim(y->0) y 라는거에요.
정의에 의해
y를 미분하면 dy // x를 미분하면 dx // f(x)를 미분하면 df(x) // g(x)를 미분하면 dg(x)
등등이 됩니다.
또, 정의에 의해
x를 x에 대해 미분하면 dx/dx=1 // y를 x에 대해 미분하면 dy/dx // f(x)를 x에 대해 미분하면 df(x)/dx = d/dx f(x)
그런데 주목할 것은 f(x)인데,
여기서 df(x)= f(x+dx)-f(x) 이므로
d/dx f(x) = f(x+dx)-f(x)/dx 이고
dx는 0으로 가는 값이므로 f(x+dx)-f(x)/dx = f'(x) (미분계수의 정의)
따라서 d/dx f(x)=f'(x) 입니다. 또,df(x)=f'(x)dx 가 성립합니다.
(물론 f(x)가 미분가능한 함수일 때만을 이야기합니다)
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이러한 정의와 그에 따른 기본적인 연산 과정을 토대로
합성함수의 미분법, 매개변수의 미분법, 음함수의 미분법, 치환적분에 차례로 적용하면
전혀 하자가 없이 들어맞거든요.
논리적으로 하자가 있는 생각인지 궁금합니다.. 수학고수님들의 답변 기다릴게요
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지금 수리호구님이 접근하시는 방법이 정확하게 350년 전 뉴튼과 라이프니츠가 미적분학을 발전시킬 때 했던 생각 - 특히 라이프니츠 - 와 같습니다. dx, dy 등을 진짜 무한소로 취급하고 다루는 방법이지요.
하지만 이 방법은 직관적으로 매우 호소력이 강하진 하지만 논리적 결함이 있습니다.
바로 실수(real numbers)에는 0을 제외한 무한소가 존재하지 않는다는 것이죠!
실제로 수리호구 님께서 dx = lim_{x→0} x, dy = lim_{x→0} y 를 '무한소'라고 하셨는데, 아닙니다. 이 두 극한은 그냥 0입니다. 한때 극한값이 무한소니 무한히 가까운 양이니 하는 착각을 없애기 위해서 '유한확정값'이라는 용어를 사용했을 정도로, 극한값이 '한없이 가까운 값'이 아니라 그냥 '값'이라는 것을 이해하는 것은 매우 중요합니다. 즉, 0은 0이고 양수는 양수라는 것이지요.
물론 이런 혼동은 얼마든지 가능합니다. 실제로 해석학이 코시 - 바이어슈트라스 등을 거쳐 엄밀한 논리적 언어로 정립되기 전까지 dx, dy같은 양들이 도대체 무엇인지에 대하여 많은 논의와 비판이 있었으니까요.
그 결과로 현대 수학에서 dy/dx 는 일단 직관적인 언어를 지양하고 형식적인 기호로 취급합니다. 쉽게 말하자면, 수백년 된 논란을 없애기 위해 수학적인 엄밀성으로 일단 한 번 소독을 하고 나서 사용한다는 것입니다. 그렇게 되어야 논리학적인 레벨에서 발생 가능한 문제로부터 수학적 논리가 자유로워집니다. 쉽게 말하자면, "마음 속으로는 무한소의 비율로 생각하고, 손으로 쓸 때는 극한으로 쓴다" 라는 겁니다.
아 논리적으로 결함이 있는 생각이었군요.. 감사합니다^^
그럼 저러한 방식으로 문제를 해결해나가는 방식은 지양하는게 좋을까요?
수능문제를 위한 것이라면 딱히 상관은 없습니다. 대신 2계도함수 이상에서는 저런 논리가 안 먹힌다는 것만 알아두시면 되고요.
하지만 만약 논술이라거나 기타 여러가지 '증명'이 필요한 상황에서는, 저런 풀이를 일단 시도해봐서 결론을 얻은 다음 그 결과가 맞다 싶으면 실제 미분계수의 정의를 이용해서 해보면 좋겠지요.
즉, 그림으로 따지먼 저러한 방식을 통해 구도를 잡고 스케치를 한 다음에, 실제로 색을 칠하는 것은 미분계수의 정의 등을 사용한 엄밀한 논리라는 것입니다.
누군가 이렇게 말씀하셨지요. "생각은 물리학자처럼, 증명은 수학자처럼"
하지만 역시 개인적으로는 dx, dy 보다는 역시 '극한으로 보내기 전의 차이값'인 Δx, Δy, Δf(x) = f(x+Δx) - f(x) 등을 이용하는 것이 더 좋지 않나 합니다. (아마 책에서는 증분 같은 말을 쓰던가요? 기억이 잘 안 나네요) 사실상 본질은 다르지 않으면서도, 이 방법은 아직 극한을 취하지 않은 상황이기 때문에 Δx 등을 자유롭게 쓸 수 있습니다. 그리고 나서 보이고자 하는 식의 형태가 잡히면, 그때 극한을 취해버려서 실제 결론을 얻어내면 되지요.
그렇겠네요. 굳이 왜 귀찮게 Δx를 책에서 사용해왔나 생각했는데 말씀하신대로 식을 다루기가 훨씬 자유롭군요. 감사합니다^^