미적분학 수렴성 질문이요

Question

여기에 대학과정 올려도 되는지 모르겠네요질문은 시그마 n=1 부터 무한대까지 i^n/n  이 수렴 하나요? (i는 허수)비판정법으로는 판정불가고 답에는 조건부수렴(conditionally converge)라고만 적혀있어서 잘 모르겠네요

콘실크 · Accepted Answer

고등학교 과정에서도 그렇지만, (-1)^n 꼴은 차라리 -1, 1로 분류하는편이 좋습니다. 그렇게 분류하면 교대급수꼴이 나오겠죠.

sos440 · Answer

콘실크 님 말씀처럼, 부분합의 실수부와 허수부를 살펴보면 양쪽 모두 교대급수 판정법을 적용할 수 있는 구조로 되어 있습니다.

아니면 디리클레 판정법같은 해석학적인 판정법을 때려박아도 나오긴 합니다. 디리클레 판정법은 교대급수 판정법의 일반화이지요. 자세한 건 http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test 를 참조하세요.

궁금해하실지는 모르겠지만, 참고로 저 무한급수의 값은

-(1/2)ln2 + iπ/4

입니다. 좀 더 일반적으로, 복소수 z가 |z| ≤ 1 이고 z ≠ 1 이면

-log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + …

가 성립합니다. 위 식에 z = i 를 대입해보면 위의 결과가 나오는 것을 확인할 수 있습니다. (1 - i = √2 e^{-iπ/4} 니까요)

dasfsdafsdf · Answer

그런데 제가 헷깔렸던건 교대급수로 해보긴 해봤는데 그걸로 하려면 짝수항, 홀수항을 분리해서 계산 해야되더라구요. 그런데 절대수렴해야지만 그렇게 분리할수 있다고 해서 혼동이 됐습니다.

근데 어짜피 분리해서 각각이 수렴하니 원급수도 수렴한다고 볼 수 있겠네요...  ( 물론 분리했을때 어느 한쪽이 발산하면 판정할수 없겠지만.)

미적분학 수렴성 질문이요

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