미분에 대해 2~3가지 질문드립니다. 답변 좀 부탁드려요
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1. f(x)가 미분가능한 함수이면 도함수 f'(x)는 연속함수인가요? 항상?
아니면 다항함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수 중에 몇몇 경우에만 성립하는 건가요?
2. 실력 정석 11단원 연습문제의 내용인데요
[ 함수 f(x) = x2 - 2x + 2 + a(e-x) (단 a>0) 의 그래프가
오직 하나의 극점을 가짐을 보여라]는 문제인데, 해설에 의문이 있어서 질문드립니다.
제가 문제를 삼는 해설지 풀이는 아래와 같습니다.
f'(x) = 2x - 2 - a(e-x)에서
f'(0) = -2 - a < 0 이다.
리미트 x→+∞일 때, f'(x)→+∞이고
f(x)는 연속함수이므로 중간값의 정리에 의하여
f'(c)=0을 만족하는 양수 c가 존재한다
고 합니다.
저는 여기서 4번째 줄의 해설이 이해가 안 됩니다.
흐름상
f'(0)<0, x가 양의 무한대로 갈 때 f'(x)가 양의 무한대로 가고
f'(x)가 미분가능하므로 연속함수이므로 중간값의 정리에 의해서
f'(c)=0인 c가 0과 x사이, 즉 양수 c가 존재한다
고 해야하는거 아닌가요?
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1. 아니오. x^2sin1/x 라는 함수의 x=0에서의 미분계수를 살펴보세요
2. f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속일 때 f(a)
잠시. 1번에서 x^2sin(1/x)는 x=0에서 정의되지 않는데요. ' ';
보통 문제지에서 미분계수의 정의를 이용할 때에는 x=0에서 함숫값 0을 갖는다고 두고 시작하죠..
그 함수에서 f(0)=0 이라고 할때를 말씀하시는 듯 하네요
귀찮아서 생략했습니다.
물론 이정도의 수준을 가지고 계신분이라면 당연히 알고 계실 반례라 생각해서..;;
흠. 그런데 저도 이게 확실하진 않은데,
만약 f(x)=x^2sin(1/x) , f(0)=0 이라고 한다면,
x=0에서의 미분계수가 정의 되므로 그에 상응하는 도함수의 함숫값이 정의된다고 하지 않나요? ' '
도함수는 미분계수를 함수로 나타낸 것이니까요.
아아. x=0 그 근방에서 도함수가 진동하는군요. ㅋㅋ 이런..
x=0에서 미분계수가 0으로 존재하면서
x=0근방에서 도함수가 진동하나요 ?
어떻게 진동... 아 그냥 진동해버리나요 ?ㅋㅋㅋ 왜 진동하나요 ㅋㅋㅋ ㅜㅜ
만약 진동한다면 함수가 이어지지 않고 끊어지기 때문에
도함수가 연속함수가 안 되는건가요?
x=0에서 정의 불가입니다.
미분계수의 정의상 평균변화율의 좌우극한값이 수렴하고 같아야 미분가능하다고 하죠.
x = 0 에서 정의 불가라는 것은 어떤 것을 이야기하는 건가요? 제시된 f(x)는 모든 점에서 미분가능한 함수인데... x = 0 에서의 f'(x)의 극한인지요?
f'(x)를 말한것이었습니다.
f'(x)=cos(1/x^2)로 f'(0)에서 구멍이 뻥~ 뚫려있지않나요?
미분계수의 정의로 계산해보면
f'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) (x≠0)
f'(0) = 0
이 됩니다. 즉, 구멍이 뚫려있는 것은 아닙니다.
애초에 f'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) 라는 등식은 미분법을 적용해서 얻은 결과인데, 미분법은 미분이 적용되는 각 요소들이 모두 미분 가능하다는 조건이 필요합니다. 하지만 이 경우 1/x 가 원점에서 미분 가능하기는커녕 정의도 되지 않습니다. 그래서 이 결과는 오직 x ≠ 0 일 때에만 성립하며, 원점의 경우는 직접 정의로 돌아가서 미분계수의 존재성 혹은 값을 확인해야 합니다.
즉 통상적인 미분공식 (d/dx)로는 접근하면 안된다는거군요.
f'(0)을 구체적으로 구하는 방법이 뭔가요?
lim h->0 h^2(sin1/h)-0 / h = lim h->0 hsin(1/h) 에서 샌드위치 정리를 적용시켜서 0임을 보이는건가요?
네, 보통 그렇게 보이지요.
댓글 감사합니다 ㅎ
저도 중간값정리는 함수가 연속함수이기만 하면 된다는 것을 알고 있습니다만
제가 이 문제에서 의문을 가지는 부분은
f(x)가 연속함수이므로 중간값의 정리를 적용하는게 아니라
f'(x)가 연속함수이므로 중간값의 정리를 적용해야하는 거 아닌가 싶어서요
이 풀이는 지금 f'(x) = 0이 근을 가지느냐 안 가지느냐를 다루는데
제 생각엔 뜬금없이 f(x)가 나온거 같아서요 ㅎ
좀 뜬금없긴하네요 ㅎ
맞죠 ? 이거 오타아닐까요? ,,, 아 설마 정석이 오타일까 생각도 들긴하는데, 흐름상, 도함수 f'(x)가 맞지 않을까요
뭐 하이탑에도 오타가 실려있는데.;; 정석이라고 오타가 없을까요..
아무래도 제 생각이 맞겠죠 ? ㅋㅋㅋ