미분에 대해 2~3가지 질문드립니다. 답변 좀 부탁드려요
게시글 주소: https://orbi.kr/0001542087
1. f(x)가 미분가능한 함수이면 도함수 f'(x)는 연속함수인가요? 항상?
아니면 다항함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수 중에 몇몇 경우에만 성립하는 건가요?
2. 실력 정석 11단원 연습문제의 내용인데요
[ 함수 f(x) = x2 - 2x + 2 + a(e-x) (단 a>0) 의 그래프가
오직 하나의 극점을 가짐을 보여라]는 문제인데, 해설에 의문이 있어서 질문드립니다.
제가 문제를 삼는 해설지 풀이는 아래와 같습니다.
f'(x) = 2x - 2 - a(e-x)에서
f'(0) = -2 - a < 0 이다.
리미트 x→+∞일 때, f'(x)→+∞이고
f(x)는 연속함수이므로 중간값의 정리에 의하여
f'(c)=0을 만족하는 양수 c가 존재한다
고 합니다.
저는 여기서 4번째 줄의 해설이 이해가 안 됩니다.
흐름상
f'(0)<0, x가 양의 무한대로 갈 때 f'(x)가 양의 무한대로 가고
f'(x)가 미분가능하므로 연속함수이므로 중간값의 정리에 의해서
f'(c)=0인 c가 0과 x사이, 즉 양수 c가 존재한다
고 해야하는거 아닌가요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
천주교 다니면서 얻어간게 하나도 없다는 판단이 서네요 굿바이 예수, 사요나라 마리아
-
국어 시대컨 2
서바랑 엑셀 어떰? 주변에서 푸는 사람을 못봐서 수학이랑 과탐은 많이 봤는데
-
+ 스메랑 매일밤 통화함. 도움되는듯...
-
그게 나야 바 둠바 두비두밥~ ^^
-
호감이면 댓글 달아준다고 해놓고 가장 호감 한 명만 댓글 안달아주기
-
수학 실모풀때 1번부터 10번, 16번부터 20번까지 4
몇분 목표로 푸는게 맞을까요? 쉬운거부터 풀고 11번으로
-
안녕하세요! 새로운 교육의 시작, 의 The-N. EarthCoach입니다!...
-
[짧은 칼럼] 7모 대비 사문 시간 확 줄여줄 매우 간단한 팁 6
바로 본론으로 들어가면, 작년 7월 모의고사 기출문제인데 이런 유형이 한 시험지에...
-
100처음 찍어봄
-
다 풀어야겠군…..
-
히히 똥 4
똥발싸 히히
-
이 문제 이상한듯한데 함 봐보셈 내가 의문인건 얘임 그니까 상댓값을 저렇게 주면...
-
아 응원전못참지
-
너기출로 수1 수2 미적 정리하면서 기출 풀어보려는데 6모 2등급 턱걸이 기준...
-
좀 더 눈살이 찌뿌려질 만한 비호감 글을 더 써야겠구나
-
내 목을 쳐라
-
내가본책중에 젤 예쁜듯 좆나깔끔해 진짜 잘뽑았다
-
탐구과목 시험 시작전에 그 커버(과학,사회탐구 써져있는)에 1차로 시험볼꺼 넣어서...
-
쉐리만나기 3
허허
-
ㅇㅈ 4
안 해요!
-
본인 최애 노래 0
3년째 들어도 새롭고 짜릿해
-
자기 썸녀인가 여친분한테 수학 알려준다고 직접 종이에 써서 카톡으로 보내주는 엄청...
-
완벽히 소화한다는 가정하에 한 4일?
-
내일 7모 4
안 품 금욜에 풀듯
-
7모 1
ㅈ망할 삘이다...
-
아니근데 수빈아... 그건 장재영도 잡는 타구였는데...
-
제목 그대로 킬캠 빡모 강대X 에스컬레이드 이해원 서바 등 +서킷같은 하프모고까지...
-
요번 극장판 보기 전에 다시보기 좋은 예전 에피소드들 보고 있는데 1-5기 이땐...
-
도와주세요 9
스카에서 엄지손가락만한 바퀴벌레 나와서 종이컵으로 덮어놨는데 이거 어케 해야 돼요?...
-
존나 정 떨어질거같은데 ㅋㅋ 아빠덕분에 삼수했으니까 참으려나
-
한때 물리보다는 화학이었는데.. 어찌 이렇게 된걸까..
-
거미줄 ㅈㄴ 많아
-
ㅇ
-
집가서 얼굴 존내 빡빡 닦아야겠다..
-
수업 프린트에다 들으심?? 걍 본교재에다 필기해도 되나
-
찍맞으로 8점이 올랐으니 ㅋㅋㅋ.. 계산실수 제해도 65점이 한계인가
-
ㅅㅂ 1년 썼는데 가버린다고? 진짜 ㅈㄴ 슬프다 내 인생을 보여주는 몇 안되는...
-
아 ㅋㅋ 연애는 해봤는지 먼저 물었어야 했나?
-
원래 오전에 국어했었는데 저녁에 사문을 할라니 너무 하기가 싫어서.. 그냥...
-
평균 그래도 올랐을걸? 학원에서 중학교 교과서에 있길래 냈다고 아 ㅋㅋ 3, 5,...
-
유틸리티 미적 수특 수1 수2 미적 수완 다 풀어버리고 실력편하면 되겠구먼
-
노베가 수능 수학 4-6등급 맞으려면 선택과목 뭐해야함? 10
확통 미적 기하중에 4-6등급 나와야하는데 (예체능이라) 단기간에 찍기+2점풀이로...
1. 아니오. x^2sin1/x 라는 함수의 x=0에서의 미분계수를 살펴보세요
2. f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속일 때 f(a)
잠시. 1번에서 x^2sin(1/x)는 x=0에서 정의되지 않는데요. ' ';
보통 문제지에서 미분계수의 정의를 이용할 때에는 x=0에서 함숫값 0을 갖는다고 두고 시작하죠..
그 함수에서 f(0)=0 이라고 할때를 말씀하시는 듯 하네요
귀찮아서 생략했습니다.
물론 이정도의 수준을 가지고 계신분이라면 당연히 알고 계실 반례라 생각해서..;;
흠. 그런데 저도 이게 확실하진 않은데,
만약 f(x)=x^2sin(1/x) , f(0)=0 이라고 한다면,
x=0에서의 미분계수가 정의 되므로 그에 상응하는 도함수의 함숫값이 정의된다고 하지 않나요? ' '
도함수는 미분계수를 함수로 나타낸 것이니까요.
아아. x=0 그 근방에서 도함수가 진동하는군요. ㅋㅋ 이런..
x=0에서 미분계수가 0으로 존재하면서
x=0근방에서 도함수가 진동하나요 ?
어떻게 진동... 아 그냥 진동해버리나요 ?ㅋㅋㅋ 왜 진동하나요 ㅋㅋㅋ ㅜㅜ
만약 진동한다면 함수가 이어지지 않고 끊어지기 때문에
도함수가 연속함수가 안 되는건가요?
x=0에서 정의 불가입니다.
미분계수의 정의상 평균변화율의 좌우극한값이 수렴하고 같아야 미분가능하다고 하죠.
x = 0 에서 정의 불가라는 것은 어떤 것을 이야기하는 건가요? 제시된 f(x)는 모든 점에서 미분가능한 함수인데... x = 0 에서의 f'(x)의 극한인지요?
f'(x)를 말한것이었습니다.
f'(x)=cos(1/x^2)로 f'(0)에서 구멍이 뻥~ 뚫려있지않나요?
미분계수의 정의로 계산해보면
f'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) (x≠0)
f'(0) = 0
이 됩니다. 즉, 구멍이 뚫려있는 것은 아닙니다.
애초에 f'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) 라는 등식은 미분법을 적용해서 얻은 결과인데, 미분법은 미분이 적용되는 각 요소들이 모두 미분 가능하다는 조건이 필요합니다. 하지만 이 경우 1/x 가 원점에서 미분 가능하기는커녕 정의도 되지 않습니다. 그래서 이 결과는 오직 x ≠ 0 일 때에만 성립하며, 원점의 경우는 직접 정의로 돌아가서 미분계수의 존재성 혹은 값을 확인해야 합니다.
즉 통상적인 미분공식 (d/dx)로는 접근하면 안된다는거군요.
f'(0)을 구체적으로 구하는 방법이 뭔가요?
lim h->0 h^2(sin1/h)-0 / h = lim h->0 hsin(1/h) 에서 샌드위치 정리를 적용시켜서 0임을 보이는건가요?
네, 보통 그렇게 보이지요.
댓글 감사합니다 ㅎ
저도 중간값정리는 함수가 연속함수이기만 하면 된다는 것을 알고 있습니다만
제가 이 문제에서 의문을 가지는 부분은
f(x)가 연속함수이므로 중간값의 정리를 적용하는게 아니라
f'(x)가 연속함수이므로 중간값의 정리를 적용해야하는 거 아닌가 싶어서요
이 풀이는 지금 f'(x) = 0이 근을 가지느냐 안 가지느냐를 다루는데
제 생각엔 뜬금없이 f(x)가 나온거 같아서요 ㅎ
좀 뜬금없긴하네요 ㅎ
맞죠 ? 이거 오타아닐까요? ,,, 아 설마 정석이 오타일까 생각도 들긴하는데, 흐름상, 도함수 f'(x)가 맞지 않을까요
뭐 하이탑에도 오타가 실려있는데.;; 정석이라고 오타가 없을까요..
아무래도 제 생각이 맞겠죠 ? ㅋㅋㅋ